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beweisen cos(4θ)=1-8sin^2(θ)cos^2(θ)

Lösung

beweisen

cos (4 θ) = 1 - 8 sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

cos (4 θ) = 1 - 8 sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

Manipuliere die linke Seite

cos (4 θ)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (4 θ)

= cos (2 \cdot 2 θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin^{2} (2 θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= 1 - 2 (2 sin (θ) cos (θ))^{2}

Vereinfache

1 - 2 (2 sin (θ) cos (θ))^{2} : 1 - 8 sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

1 - 2 (2 sin (θ) cos (θ))^{2}

2 (2 sin (θ) cos (θ))^{2} = 2^{3} sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

2 (2 sin (θ) cos (θ))^{2}

(2 sin (θ) cos (θ))^{2} = 2^{2} sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

(2 sin (θ) cos (θ))^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

= 2^{2} \cdot 2 sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2 \cdot 2^{2} = 2^{1 + 2}

= 2^{1 + 2} sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

Addiere die Zahlen:

1 + 2 = 3

= 2^{3} sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

= 1 - 2^{3} sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

2^{3} = 8

= 1 - 8 sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

= 1 - 8 sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

= 1 - 8 sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e cos^{6} (10 5^{\circ}) = (\frac{1 + cos ( 21 0 ^{\circ} )}{2})^{3}

p ro v e 1 + tan^{2} (4 5^{\circ}) = sec^{2} (4 5^{\circ})

p ro v e \frac{cot ( x )}{cos ( x )} = csc (x)

p ro v e \frac{sin ( x ) cos ( x )}{tan ( x )} = cos^{2} (x)

p ro v e 2 sin^{2} (2 t) + cos (4 t) = 1