解答
cos2(x)+cos2(3x)=1
解答
x=0.78539…+2πn,x=2π−0.78539…+2πn,x=2.35619…+2πn,x=−2.35619…+2πn,x=0.39269…+2πn,x=2π−0.39269…+2πn,x=2.74889…+2πn,x=−2.74889…+2πn,x=1.17809…+2πn,x=2π−1.17809…+2πn,x=1.96349…+2πn,x=−1.96349…+2πn
+1
度数
x=45∘+360∘n,x=315∘+360∘n,x=135∘+360∘n,x=−135∘+360∘n,x=22.5∘+360∘n,x=337.5∘+360∘n,x=157.5∘+360∘n,x=−157.5∘+360∘n,x=67.5∘+360∘n,x=292.5∘+360∘n,x=112.5∘+360∘n,x=−112.5∘+360∘n求解步骤
cos2(x)+cos2(3x)=1
两边减去 1cos2(x)+cos2(3x)−1=0
使用三角恒等式改写
−1+cos2(3x)+cos2(x)
cos(3x)=4cos3(x)−3cos(x)
cos(3x)
使用三角恒等式改写
cos(3x)
改写为=cos(2x+x)
使用角和恒等式: cos(s+t)=cos(s)cos(t)−sin(s)sin(t)=cos(2x)cos(x)−sin(2x)sin(x)
使用倍角公式: sin(2x)=2sin(x)cos(x)=cos(2x)cos(x)−2sin(x)cos(x)sin(x)
化简 cos(2x)cos(x)−2sin(x)cos(x)sin(x):cos(x)cos(2x)−2sin2(x)cos(x)
cos(2x)cos(x)−2sin(x)cos(x)sin(x)
2sin(x)cos(x)sin(x)=2sin2(x)cos(x)
2sin(x)cos(x)sin(x)
使用指数法则: ab⋅ac=ab+csin(x)sin(x)=sin1+1(x)=2cos(x)sin1+1(x)
数字相加:1+1=2=2cos(x)sin2(x)
=cos(x)cos(2x)−2sin2(x)cos(x)
=cos(x)cos(2x)−2sin2(x)cos(x)
=cos(x)cos(2x)−2sin2(x)cos(x)
使用倍角公式: cos(2x)=2cos2(x)−1=(2cos2(x)−1)cos(x)−2sin2(x)cos(x)
使用毕达哥拉斯恒等式: cos2(x)+sin2(x)=1sin2(x)=1−cos2(x)=(2cos2(x)−1)cos(x)−2(1−cos2(x))cos(x)
乘开 (2cos2(x)−1)cos(x)−2(1−cos2(x))cos(x):4cos3(x)−3cos(x)
(2cos2(x)−1)cos(x)−2(1−cos2(x))cos(x)
=cos(x)(2cos2(x)−1)−2cos(x)(1−cos2(x))
乘开 cos(x)(2cos2(x)−1):2cos3(x)−cos(x)
cos(x)(2cos2(x)−1)
使用分配律: a(b−c)=ab−aca=cos(x),b=2cos2(x),c=1=cos(x)2cos2(x)−cos(x)1
=2cos2(x)cos(x)−1cos(x)
化简 2cos2(x)cos(x)−1⋅cos(x):2cos3(x)−cos(x)
2cos2(x)cos(x)−1cos(x)
2cos2(x)cos(x)=2cos3(x)
2cos2(x)cos(x)
使用指数法则: ab⋅ac=ab+ccos2(x)cos(x)=cos2+1(x)=2cos2+1(x)
数字相加:2+1=3=2cos3(x)
1⋅cos(x)=cos(x)
1cos(x)
乘以:1⋅cos(x)=cos(x)=cos(x)
=2cos3(x)−cos(x)
=2cos3(x)−cos(x)
=2cos3(x)−cos(x)−2(1−cos2(x))cos(x)
乘开 −2cos(x)(1−cos2(x)):−2cos(x)+2cos3(x)
−2cos(x)(1−cos2(x))
使用分配律: a(b−c)=ab−aca=−2cos(x),b=1,c=cos2(x)=−2cos(x)1−(−2cos(x))cos2(x)
使用加减运算法则−(−a)=a=−2⋅1cos(x)+2cos2(x)cos(x)
化简 −2⋅1⋅cos(x)+2cos2(x)cos(x):−2cos(x)+2cos3(x)
−2⋅1cos(x)+2cos2(x)cos(x)
2⋅1⋅cos(x)=2cos(x)
2⋅1cos(x)
数字相乘:2⋅1=2=2cos(x)
2cos2(x)cos(x)=2cos3(x)
2cos2(x)cos(x)
使用指数法则: ab⋅ac=ab+ccos2(x)cos(x)=cos2+1(x)=2cos2+1(x)
数字相加:2+1=3=2cos3(x)
=−2cos(x)+2cos3(x)
=−2cos(x)+2cos3(x)
=2cos3(x)−cos(x)−2cos(x)+2cos3(x)
化简 2cos3(x)−cos(x)−2cos(x)+2cos3(x):4cos3(x)−3cos(x)
2cos3(x)−cos(x)−2cos(x)+2cos3(x)
对同类项分组=2cos3(x)+2cos3(x)−cos(x)−2cos(x)
同类项相加:2cos3(x)+2cos3(x)=4cos3(x)=4cos3(x)−cos(x)−2cos(x)
同类项相加:−cos(x)−2cos(x)=−3cos(x)=4cos3(x)−3cos(x)
=4cos3(x)−3cos(x)
=4cos3(x)−3cos(x)
=−1+(4cos3(x)−3cos(x))2+cos2(x)
化简 −1+(4cos3(x)−3cos(x))2+cos2(x):−1+16cos6(x)−24cos4(x)+10cos2(x)
−1+(4cos3(x)−3cos(x))2+cos2(x)
(4cos3(x)−3cos(x))2:16cos6(x)−24cos4(x)+9cos2(x)
使用完全平方公式: (a−b)2=a2−2ab+b2a=4cos3(x),b=3cos(x)
=(4cos3(x))2−2⋅4cos3(x)⋅3cos(x)+(3cos(x))2
化简 (4cos3(x))2−2⋅4cos3(x)⋅3cos(x)+(3cos(x))2:16cos6(x)−24cos4(x)+9cos2(x)
(4cos3(x))2−2⋅4cos3(x)⋅3cos(x)+(3cos(x))2
(4cos3(x))2=16cos6(x)
(4cos3(x))2
使用指数法则: (a⋅b)n=anbn=42(cos3(x))2
(cos3(x))2:cos6(x)
使用指数法则: (ab)c=abc=cos3⋅2(x)
数字相乘:3⋅2=6=cos6(x)
=42cos6(x)
42=16=16cos6(x)
2⋅4cos3(x)⋅3cos(x)=24cos4(x)
2⋅4cos3(x)⋅3cos(x)
数字相乘:2⋅4⋅3=24=24cos3(x)cos(x)
使用指数法则: ab⋅ac=ab+ccos3(x)cos(x)=cos3+1(x)=24cos3+1(x)
数字相加:3+1=4=24cos4(x)
(3cos(x))2=9cos2(x)
(3cos(x))2
使用指数法则: (a⋅b)n=anbn=32cos2(x)
32=9=9cos2(x)
=16cos6(x)−24cos4(x)+9cos2(x)
=16cos6(x)−24cos4(x)+9cos2(x)
=−1+16cos6(x)−24cos4(x)+9cos2(x)+cos2(x)
同类项相加:9cos2(x)+cos2(x)=10cos2(x)=−1+16cos6(x)−24cos4(x)+10cos2(x)
=−1+16cos6(x)−24cos4(x)+10cos2(x)
−1+10cos2(x)+16cos6(x)−24cos4(x)=0
用替代法求解
−1+10cos2(x)+16cos6(x)−24cos4(x)=0
令:cos(x)=u−1+10u2+16u6−24u4=0
−1+10u2+16u6−24u4=0:u=21,u=−21,u=22+2,u=−22+2,u=22−2,u=−22−2
−1+10u2+16u6−24u4=0
改写成标准形式 anxn+…+a1x+a0=016u6−24u4+10u2−1=0
用v=u2,v2=u4 和 v3=u6改写方程式16v3−24v2+10v−1=0
解 16v3−24v2+10v−1=0:v=21,v=42+2,v=42−2
16v3−24v2+10v−1=0
因式分解 16v3−24v2+10v−1:(2v−1)(8v2−8v+1)
16v3−24v2+10v−1
使用有理根定理
a0=1,an=16
a0的除数:1,an的除数:1,2,4,8,16
因此，检验以下有理数:±1,2,4,8,161
21 是表达式的根，所以因式分解 2v−1
=(2v−1)2v−116v3−24v2+10v−12v−116v3−24v2+10v−1=8v2−8v+1
2v−116v3−24v2+10v−1
对 2v−116v3−24v2+10v−1做除法:2v−116v3−24v2+10v−1=8v2+2v−1−16v2+10v−1
将分子 16v3−24v2+10v−1 与除数 2v−1
的首项系数相除：2v16v3=8v2
商=8v2将 2v−1 乘以 8v2:16v3−8v2将 16v3−24v2+10v−1 减去 16v3−8v2 得到新的余数余数=−16v2+10v−1
因此2v−116v3−24v2+10v−1=8v2+2v−1−16v2+10v−1
=8v2+2v−1−16v2+10v−1
对 2v−1−16v2+10v−1做除法:2v−1−16v2+10v−1=−8v+2v−12v−1
将分子 −16v2+10v−1 与除数 2v−1
的首项系数相除：2v−16v2=−8v
商=−8v将 2v−1 乘以 −8v:−16v2+8v将 −16v2+10v−1 减去 −16v2+8v 得到新的余数余数=2v−1
因此2v−1−16v2+10v−1=−8v+2v−12v−1
=8v2−8v+2v−12v−1
对 2v−12v−1做除法:2v−12v−1=1
将分子 2v−1 与除数 2v−1
的首项系数相除：2v2v=1
商=1将 2v−1 乘以 1:2v−1将 2v−1 减去 2v−1 得到新的余数余数=0
因此2v−12v−1=1
=8v2−8v+1
=(2v−1)(8v2−8v+1)
(2v−1)(8v2−8v+1)=0
使用零因数法则： If ab=0then a=0or b=02v−1=0or8v2−8v+1=0
解 2v−1=0:v=21
2v−1=0
将 1到右边
2v−1=0
两边加上 12v−1+1=0+1
化简2v=1
2v=1
两边除以 2
2v=1
两边除以 222v=21
化简v=21
v=21
解 8v2−8v+1=0:v=42+2,v=42−2
8v2−8v+1=0
使用求根公式求解
8v2−8v+1=0
二次方程求根公式:
若 a=8,b=−8,c=1v1,2=2⋅8−(−8)±(−8)2−4⋅8⋅1
v1,2=2⋅8−(−8)±(−8)2−4⋅8⋅1
(−8)2−4⋅8⋅1=42
(−8)2−4⋅8⋅1
使用指数法则: (−a)n=an,若 n 是偶数(−8)2=82=82−4⋅8⋅1
数字相乘:4⋅8⋅1=32=82−32
82=64=64−32
数字相减:64−32=32=32
32质因数分解:25
32
32除以 232=16⋅2=2⋅16
16除以 216=8⋅2=2⋅2⋅8
8除以 28=4⋅2=2⋅2⋅2⋅4
4除以 24=2⋅2=2⋅2⋅2⋅2⋅2
2 是质数，因此无法进一步因数分解=2⋅2⋅2⋅2⋅2
=25
=25
使用指数法则: ab+c=ab⋅ac=24⋅2
使用根式运算法则: nab=nanb=224
使用根式运算法则: nam=anm24=224=22=222
整理后得=42
v1,2=2⋅8−(−8)±42
将解分隔开v1=2⋅8−(−8)+42,v2=2⋅8−(−8)−42
v=2⋅8−(−8)+42:42+2
2⋅8−(−8)+42
使用法则 −(−a)=a=2⋅88+42
数字相乘:2⋅8=16=168+42
分解 8+42:4(2+2)
8+42
改写为=4⋅2+42
因式分解出通项 4=4(2+2)
=164(2+2)
约分:4=42+2
v=2⋅8−(−8)−42:42−2
2⋅8−(−8)−42
使用法则 −(−a)=a=2⋅88−42
数字相乘:2⋅8=16=168−42
分解 8−42:4(2−2)
8−42
改写为=4⋅2−42
因式分解出通项 4=4(2−2)
=164(2−2)
约分:4=42−2
二次方程组的解是:v=42+2,v=42−2
解为v=21,v=42+2,v=42−2
v=21,v=42+2,v=42−2
代回 v=u2，求解 u
解 u2=21:u=21,u=−21
u2=21
对于 x2=f(a) 解为 x=f(a),−f(a)
u=21,u=−21
解 u2=42+2:u=22+2,u=−22+2
u2=42+2
对于 x2=f(a) 解为 x=f(a),−f(a)
u=42+2,u=−42+2
42+2=22+2
42+2
使用根式运算法则: nba=nbna, 假定 a≥0,b≥0=42+2
4=2
4
因式分解数字: 4=22=22
使用根式运算法则: nan=a22=2=2
=22+2
−42+2=−22+2
−42+2
化简 42+2:22+2
42+2
使用根式运算法则: nba=nbna, 假定 a≥0,b≥0=42+2
4=2
4
因式分解数字: 4=22=22
使用根式运算法则: nan=a22=2=2
=22+2
=−22+2
u=22+2,u=−22+2
解 u2=42−2:u=22−2,u=−22−2
u2=42−2
对于 x2=f(a) 解为 x=f(a),−f(a)
u=42−2,u=−42−2
42−2=22−2
42−2
使用根式运算法则: nba=nbna, 假定 a≥0,b≥0=42−2
4=2
4
因式分解数字: 4=22=22
使用根式运算法则: nan=a22=2=2
=22−2
−42−2=−22−2
−42−2
化简 42−2:22−2
42−2
使用根式运算法则: nba=nbna, 假定 a≥0,b≥0=42−2
4=2
4
因式分解数字: 4=22=22
使用根式运算法则: nan=a22=2=2
=22−2
=−22−2
u=22−2,u=−22−2
解为
u=21,u=−21,u=22+2,u=−22+2,u=22−2,u=−22−2
u=cos(x)代回cos(x)=21,cos(x)=−21,cos(x)=22+2,cos(x)=−22+2,cos(x)=22−2,cos(x)=−22−2
cos(x)=21,cos(x)=−21,cos(x)=22+2,cos(x)=−22+2,cos(x)=22−2,cos(x)=−22−2
cos(x)=21:x=arccos(21)+2πn,x=2π−arccos(21)+2πn
cos(x)=21
使用反三角函数性质
cos(x)=21
cos(x)=21的通解cos(x)=a⇒x=arccos(a)+2πn,x=2π−arccos(a)+2πnx=arccos(21)+2πn,x=2π−arccos(21)+2πn
x=arccos(21)+2πn,x=2π−arccos(21)+2πn
cos(x)=−21:x=arccos(−21)+2πn,x=−arccos(−21)+2πn
cos(x)=−21
使用反三角函数性质
cos(x)=−21
cos(x)=−21的通解cos(x)=−a⇒x=arccos(−a)+2πn,x=−arccos(−a)+2πnx=arccos(−21)+2πn,x=−arccos(−21)+2πn
x=arccos(−21)+2πn,x=−arccos(−21)+2πn
cos(x)=22+2:x=arccos(22+2)+2πn,x=2π−arccos(22+2)+2πn
cos(x)=22+2
使用反三角函数性质
cos(x)=22+2
cos(x)=22+2的通解cos(x)=a⇒x=arccos(a)+2πn,x=2π−arccos(a)+2πnx=arccos(22+2)+2πn,x=2π−arccos(22+2)+2πn
x=arccos(22+2)+2πn,x=2π−arccos(22+2)+2πn
cos(x)=−22+2:x=arccos(−22+2)+2πn,x=−arccos(−22+2)+2πn
cos(x)=−22+2
使用反三角函数性质
cos(x)=−22+2
cos(x)=−22+2的通解cos(x)=−a⇒x=arccos(−a)+2πn,x=−arccos(−a)+2πnx=arccos(−22+2)+2πn,x=−arccos(−22+2)+2πn
x=arccos(−22+2)+2πn,x=−arccos(−22+2)+2πn
cos(x)=22−2:x=arccos(22−2)+2πn,x=2π−arccos(22−2)+2πn
cos(x)=22−2
使用反三角函数性质
cos(x)=22−2
cos(x)=22−2的通解cos(x)=a⇒x=arccos(a)+2πn,x=2π−arccos(a)+2πnx=arccos(22−2)+2πn,x=2π−arccos(22−2)+2πn
x=arccos(22−2)+2πn,x=2π−arccos(22−2)+2πn
cos(x)=−22−2:x=arccos(−22−2)+2πn,x=−arccos(−22−2)+2πn
cos(x)=−22−2
使用反三角函数性质
cos(x)=−22−2
cos(x)=−22−2的通解cos(x)=−a⇒x=arccos(−a)+2πn,x=−arccos(−a)+2πnx=arccos(−22−2)+2πn,x=−arccos(−22−2)+2πn
x=arccos(−22−2)+2πn,x=−arccos(−22−2)+2πn
合并所有解x=arccos(21)+2πn,x=2π−arccos(21)+2πn,x=arccos(−21)+2πn,x=−arccos(−21)+2πn,x=arccos(22+2)+2πn,x=2π−arccos(22+2)+2πn,x=arccos(−22+2)+2πn,x=−arccos(−22+2)+2πn,x=arccos(22−2)+2πn,x=2π−arccos(22−2)+2πn,x=arccos(−22−2)+2πn,x=−arccos(−22−2)+2πn
以小数形式表示解x=0.78539…+2πn,x=2π−0.78539…+2πn,x=2.35619…+2πn,x=−2.35619…+2πn,x=0.39269…+2πn,x=2π−0.39269…+2πn,x=2.74889…+2πn,x=−2.74889…+2πn,x=1.17809…+2πn,x=2π−1.17809…+2πn,x=1.96349…+2πn,x=−1.96349…+2πn