解答
3sin2(x)−1=cos4(x)
解答
x=0.72368…+2πn,x=2π−0.72368…+2πn,x=2.41790…+2πn,x=−2.41790…+2πn
+1
度数
x=41.46431…∘+360∘n,x=318.53568…∘+360∘n,x=138.53568…∘+360∘n,x=−138.53568…∘+360∘n求解步骤
3sin2(x)−1=cos4(x)
两边减去 cos4(x)3sin2(x)−1−cos4(x)=0
使用三角恒等式改写
−1−cos4(x)+3sin2(x)
使用毕达哥拉斯恒等式: cos2(x)+sin2(x)=1sin2(x)=1−cos2(x)=−1−cos4(x)+3(1−cos2(x))
化简 −1−cos4(x)+3(1−cos2(x)):−cos4(x)−3cos2(x)+2
−1−cos4(x)+3(1−cos2(x))
乘开 3(1−cos2(x)):3−3cos2(x)
3(1−cos2(x))
使用分配律: a(b−c)=ab−aca=3,b=1,c=cos2(x)=3⋅1−3cos2(x)
数字相乘:3⋅1=3=3−3cos2(x)
=−1−cos4(x)+3−3cos2(x)
化简 −1−cos4(x)+3−3cos2(x):−cos4(x)−3cos2(x)+2
−1−cos4(x)+3−3cos2(x)
对同类项分组=−cos4(x)−3cos2(x)−1+3
数字相加/相减:−1+3=2=−cos4(x)−3cos2(x)+2
=−cos4(x)−3cos2(x)+2
=−cos4(x)−3cos2(x)+2
2−cos4(x)−3cos2(x)=0
用替代法求解
2−cos4(x)−3cos2(x)=0
令:cos(x)=u2−u4−3u2=0
2−u4−3u2=0:u=i23+17,u=−i23+17,u=217−3,u=−217−3
2−u4−3u2=0
改写成标准形式 anxn+…+a1x+a0=0−u4−3u2+2=0
用v=u2 和 v2=u4改写方程式−v2−3v+2=0
解 −v2−3v+2=0:v=−23+17,v=217−3
−v2−3v+2=0
使用求根公式求解
−v2−3v+2=0
二次方程求根公式:
若 a=−1,b=−3,c=2v1,2=2(−1)−(−3)±(−3)2−4(−1)⋅2
v1,2=2(−1)−(−3)±(−3)2−4(−1)⋅2
(−3)2−4(−1)⋅2=17
(−3)2−4(−1)⋅2
使用法则 −(−a)=a=(−3)2+4⋅1⋅2
使用指数法则: (−a)n=an,若 n 是偶数(−3)2=32=32+4⋅1⋅2
数字相乘:4⋅1⋅2=8=32+8
32=9=9+8
数字相加:9+8=17=17
v1,2=2(−1)−(−3)±17
将解分隔开v1=2(−1)−(−3)+17,v2=2(−1)−(−3)−17
v=2(−1)−(−3)+17:−23+17
2(−1)−(−3)+17
去除括号: (−a)=−a,−(−a)=a=−2⋅13+17
数字相乘:2⋅1=2=−23+17
使用分式法则: −ba=−ba=−23+17
v=2(−1)−(−3)−17:217−3
2(−1)−(−3)−17
去除括号: (−a)=−a,−(−a)=a=−2⋅13−17
数字相乘:2⋅1=2=−23−17
使用分式法则: −b−a=ba3−17=−(17−3)=217−3
二次方程组的解是:v=−23+17,v=217−3
v=−23+17,v=217−3
代回 v=u2，求解 u
解 u2=−23+17:u=i23+17,u=−i23+17
u2=−23+17
对于 x2=f(a) 解为 x=f(a),−f(a)
u=−23+17,u=−−23+17
化简 −23+17:i23+17
−23+17
使用根式运算法则: −a=−1a−23+17=−123+17=−123+17
使用虚数运算法则: −1=i=i23+17
化简 −−23+17:−i23+17
−−23+17
化简 −23+17:i23+17
−23+17
使用根式运算法则: −a=−1a−23+17=−123+17=−123+17
使用虚数运算法则: −1=i=i23+17
=−i23+17
u=i23+17,u=−i23+17
解 u2=217−3:u=217−3,u=−217−3
u2=217−3
对于 x2=f(a) 解为 x=f(a),−f(a)
u=217−3,u=−217−3
解为
u=i23+17,u=−i23+17,u=217−3,u=−217−3
u=cos(x)代回cos(x)=i23+17,cos(x)=−i23+17,cos(x)=217−3,cos(x)=−217−3
cos(x)=i23+17,cos(x)=−i23+17,cos(x)=217−3,cos(x)=−217−3
cos(x)=i23+17:无解
cos(x)=i23+17
无解
cos(x)=−i23+17:无解
cos(x)=−i23+17
无解
cos(x)=217−3:x=arccos217−3+2πn,x=2π−arccos217−3+2πn
cos(x)=217−3
使用反三角函数性质
cos(x)=217−3
cos(x)=217−3的通解cos(x)=a⇒x=arccos(a)+2πn,x=2π−arccos(a)+2πnx=arccos217−3+2πn,x=2π−arccos217−3+2πn
x=arccos217−3+2πn,x=2π−arccos217−3+2πn
cos(x)=−217−3:x=arccos−217−3+2πn,x=−arccos−217−3+2πn
cos(x)=−217−3
使用反三角函数性质
cos(x)=−217−3
cos(x)=−217−3的通解cos(x)=−a⇒x=arccos(−a)+2πn,x=−arccos(−a)+2πnx=arccos−217−3+2πn,x=−arccos−217−3+2πn
x=arccos−217−3+2πn,x=−arccos−217−3+2πn
合并所有解x=arccos217−3+2πn,x=2π−arccos217−3+2πn,x=arccos−217−3+2πn,x=−arccos−217−3+2πn
以小数形式表示解x=0.72368…+2πn,x=2π−0.72368…+2πn,x=2.41790…+2πn,x=−2.41790…+2πn