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Beliebt Trigonometrie >

2cos^4(x)-2cos^2(x)=4cos^2(x)-1

Lösung

2 cos^{4} (x) - 2 cos^{2} (x) = 4 cos^{2} (x) - 1

Lösung

x = 1.13640 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.13640 \dots + 2 πn, x = 2.00519 \dots + 2 πn, x = - 2.00519 \dots + 2 πn

Grad

x = 65.11101 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 294.88898 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 114.88898 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 114.88898 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 cos^{4} (x) - 2 cos^{2} (x) = 4 cos^{2} (x) - 1

Löse mit Substitution

2 cos^{4} (x) - 2 cos^{2} (x) = 4 cos^{2} (x) - 1

Angenommen:

cos (x) = u

2 u^{4} - 2 u^{2} = 4 u^{2} - 1

2 u^{4} - 2 u^{2} = 4 u^{2} - 1 : u = \frac{3 + 7}{2}, u = - \frac{3 + 7}{2}, u = \frac{3 - 7}{2}, u = - \frac{3 - 7}{2}

2 u^{4} - 2 u^{2} = 4 u^{2} - 1

Verschiebe

1

auf die linke Seite

2 u^{4} - 2 u^{2} = 4 u^{2} - 1

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 u^{4} - 2 u^{2} + 1 = 4 u^{2} - 1 + 1

Vereinfache

2 u^{4} - 2 u^{2} + 1 = 4 u^{2}

2 u^{4} - 2 u^{2} + 1 = 4 u^{2}

Verschiebe

4 u^{2}

auf die linke Seite

2 u^{4} - 2 u^{2} + 1 = 4 u^{2}

Subtrahiere

4 u^{2}

von beiden Seiten

2 u^{4} - 2 u^{2} + 1 - 4 u^{2} = 4 u^{2} - 4 u^{2}

Vereinfache

2 u^{4} - 6 u^{2} + 1 = 0

2 u^{4} - 6 u^{2} + 1 = 0

Schreibe die Gleichung um mit

v = u^{2}

und

v^{2} = u^{4}

2 v^{2} - 6 v + 1 = 0

Löse

2 v^{2} - 6 v + 1 = 0 : v = \frac{3 + 7}{2}, v = \frac{3 - 7}{2}

2 v^{2} - 6 v + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 v^{2} - 6 v + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = - 6, c = 1

v_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm ( - 6 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

v_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm ( - 6 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

(- 6)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 27

(- 6)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 6)^{2} = 6^{2}

= 6^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 6^{2} - 8

6^{2} = 36

= 36 - 8

Subtrahiere die Zahlen:

36 - 8 = 28

= 28

Primfaktorzerlegung von

28 : 2^{2} \cdot 7

28

28

ist durch

228 = 14 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 14

14

ist durch

214 = 7 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 7

2, 7

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 7 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 27

v_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm 2 7}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

v_{1} = \frac{- ( - 6 ) + 2 7}{2 \cdot 2}, v_{2} = \frac{- ( - 6 ) - 2 7}{2 \cdot 2}

v = \frac{- ( - 6 ) + 2 7}{2 \cdot 2} : \frac{3 + 7}{2}

\frac{- ( - 6 ) + 2 7}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{6 + 2 7}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{6 + 2 7}{4}

Faktorisiere

6 + 27 : 2 (3 + 7)

6 + 27

Schreibe um

= 2 \cdot 3 + 27

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (3 + 7)

= \frac{2 ( 3 + 7 )}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{3 + 7}{2}

v = \frac{- ( - 6 ) - 2 7}{2 \cdot 2} : \frac{3 - 7}{2}

\frac{- ( - 6 ) - 2 7}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{6 - 2 7}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{6 - 2 7}{4}

Faktorisiere

6 - 27 : 2 (3 - 7)

6 - 27

Schreibe um

= 2 \cdot 3 - 27

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (3 - 7)

= \frac{2 ( 3 - 7 )}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{3 - 7}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

v = \frac{3 + 7}{2}, v = \frac{3 - 7}{2}

v = \frac{3 + 7}{2}, v = \frac{3 - 7}{2}

Setze

v = u^{2} w i e d er e in,

löse für

u

Löse

u^{2} = \frac{3 + 7}{2} : u = \frac{3 + 7}{2}, u = - \frac{3 + 7}{2}

u^{2} = \frac{3 + 7}{2}

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = \frac{3 + 7}{2}, u = - \frac{3 + 7}{2}

Löse

u^{2} = \frac{3 - 7}{2} : u = \frac{3 - 7}{2}, u = - \frac{3 - 7}{2}

u^{2} = \frac{3 - 7}{2}

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = \frac{3 - 7}{2}, u = - \frac{3 - 7}{2}

Die Lösungen sind

u = \frac{3 + 7}{2}, u = - \frac{3 + 7}{2}, u = \frac{3 - 7}{2}, u = - \frac{3 - 7}{2}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{3 + 7}{2}, cos (x) = - \frac{3 + 7}{2}, cos (x) = \frac{3 - 7}{2}, cos (x) = - \frac{3 - 7}{2}

cos (x) = \frac{3 + 7}{2}, cos (x) = - \frac{3 + 7}{2}, cos (x) = \frac{3 - 7}{2}, cos (x) = - \frac{3 - 7}{2}

cos (x) = \frac{3 + 7}{2} :

Keine Lösung

cos (x) = \frac{3 + 7}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = - \frac{3 + 7}{2} :

Keine Lösung

cos (x) = - \frac{3 + 7}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = \frac{3 - 7}{2} : x = arccos \frac{3 - 7}{2} + 2 πn, x = 2 π - arccos \frac{3 - 7}{2} + 2 πn

cos (x) = \frac{3 - 7}{2}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{3 - 7}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{3 - 7}{2}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos \frac{3 - 7}{2} + 2 πn, x = 2 π - arccos \frac{3 - 7}{2} + 2 πn

x = arccos \frac{3 - 7}{2} + 2 πn, x = 2 π - arccos \frac{3 - 7}{2} + 2 πn

cos (x) = - \frac{3 - 7}{2} : x = arccos - \frac{3 - 7}{2} + 2 πn, x = - arccos - \frac{3 - 7}{2} + 2 πn

cos (x) = - \frac{3 - 7}{2}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{3 - 7}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{3 - 7}{2}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos - \frac{3 - 7}{2} + 2 πn, x = - arccos - \frac{3 - 7}{2} + 2 πn

x = arccos - \frac{3 - 7}{2} + 2 πn, x = - arccos - \frac{3 - 7}{2} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos \frac{3 - 7}{2} + 2 πn, x = 2 π - arccos \frac{3 - 7}{2} + 2 πn, x = arccos - \frac{3 - 7}{2} + 2 πn, x = - arccos - \frac{3 - 7}{2} + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 1.13640 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.13640 \dots + 2 πn, x = 2.00519 \dots + 2 πn, x = - 2.00519 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

solvefor x,t^2=2sec(x)

so l v e f or x, t^{2} = 2 sec (x)

(8cos(x)-4)(sin(x))=0,0<= x<2pi

(8 cos (x) - 4) (sin (x)) = 0, 0 \leq x < 2 π

sin(x)=3511

sin (x) = 3511

(10)/(sin(30))= 3/(sin(b))

\frac{10}{sin ( 3 0 ^{\circ} )} = \frac{3}{sin ( b )}

tan(θ/2-pi/6)=-1,0<= θ<2pi

tan (\frac{θ}{2} - \frac{π}{6}) = - 1, 0 \leq θ < 2 π