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Beliebt Trigonometrie >

beweisen (tan^2(θ)+1)/(tan^2(θ))=csc^2(θ)

Lösung

beweisen

\frac{tan ^{2} ( θ ) + 1}{tan ^{2} ( θ )} = csc^{2} (θ)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{tan ^{2} ( θ ) + 1}{tan ^{2} ( θ )} = csc^{2} (θ)

Manipuliere die linke Seite

\frac{tan ^{2} ( θ ) + 1}{tan ^{2} ( θ )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1 + tan ^{2} ( θ )}{tan ^{2} ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 + ( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{1 + ( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}} : \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

\frac{1 + ( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}

(\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2} = \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1 + ( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{\frac{s i n ^{2} ( θ )}{c o s ^{2} ( θ )}}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 + \frac{s i n ^{2} ( θ )}{c o s ^{2} ( θ )}}{\frac{s i n ^{2} ( θ )}{c o s ^{2} ( θ )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( 1 + \frac{s i n ^{2} ( θ )}{c o s ^{2} ( θ )} ) cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Füge

1 + \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

zusammen:

\frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

1 + \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} + \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (θ) = cos^{2} (θ)

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{\frac{c o s ^{2} ( θ ) + s i n ^{2} ( θ )}{c o s ^{2} ( θ )} cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Multipliziere

\frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} cos^{2} (θ) : cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ)

\frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} cos^{2} (θ)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ ) ) cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos^{2} (θ)

= cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ)

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{1}{( \frac{1}{c s c ( θ )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{1}{( \frac{1}{c s c ( θ )} ) ^{2}}

(\frac{1}{csc ( θ )})^{2} = \frac{1}{csc ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{csc ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{csc ^{2} ( θ )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{csc ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{\frac{1}{c s c ^{2} ( θ )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{csc ^{2} ( θ )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= csc^{2} (θ)

csc^{2} (θ)

csc^{2} (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen sec^2(x)csc^2(x)-sec^2(x)=csc^2(x)

p ro v e sec^{2} (x) csc^{2} (x) - sec^{2} (x) = csc^{2} (x)

beweisen (sin(θ)+sin(3θ))/(2cos(θ))=sin(2θ)

p ro v e \frac{sin ( θ ) + sin ( 3 θ )}{2 cos ( θ )} = sin (2 θ)

beweisen csc(θ)-csc(θ)cos^2(θ)=sin(θ)

p ro v e csc (θ) - csc (θ) cos^{2} (θ) = sin (θ)

beweisen cot(2β)=(cot^2(β)-1)/(2cot(β))

p ro v e cot (2 β) = \frac{cot ^{2} ( β ) - 1}{2 cot ( β )}

beweisen (csc(x)-cot(x))/(csc(x))=1-cos(x)

p ro v e \frac{csc ( x ) - cot ( x )}{csc ( x )} = 1 - cos (x)