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beweisen (sin(θ)+sin(3θ))/(2cos(θ))=sin(2θ)

Lösung

beweisen

\frac{sin ( θ ) + sin ( 3 θ )}{2 cos ( θ )} = sin (2 θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{sin ( θ ) + sin ( 3 θ )}{2 cos ( θ )} = sin (2 θ)

Manipuliere die linke Seite

\frac{sin ( θ ) + sin ( 3 θ )}{2 cos ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{sin ( θ ) + sin ( 3 θ )}{2 cos ( θ )}

Benutze die Identität von Summe und Produkt:

sin (s) + sin (t) = 2 sin (\frac{s + t}{2}) cos (\frac{s - t}{2})

= \frac{2 sin ( \frac{θ + 3 θ}{2} ) cos ( \frac{θ - 3 θ}{2} )}{2 cos ( θ )}

Vereinfache

\frac{2 sin ( \frac{θ + 3 θ}{2} ) cos ( \frac{θ - 3 θ}{2} )}{2 cos ( θ )} : sin (2 θ)

\frac{2 sin ( \frac{θ + 3 θ}{2} ) cos ( \frac{θ - 3 θ}{2} )}{2 cos ( θ )}

2 sin (\frac{θ + 3 θ}{2}) cos (\frac{θ - 3 θ}{2}) = 2 sin (\frac{4 θ}{2}) cos (- \frac{2 θ}{2})

2 sin (\frac{θ + 3 θ}{2}) cos (\frac{θ - 3 θ}{2})

Addiere gleiche Elemente:

θ + 3 θ = 4 θ

= 2 sin (\frac{4 θ}{2}) cos (\frac{θ - 3 θ}{2})

\frac{θ - 3 θ}{2} = - \frac{2 θ}{2}

\frac{θ - 3 θ}{2}

Addiere gleiche Elemente:

θ - 3 θ = - 2 θ

= \frac{- 2 θ}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 θ}{2}

= 2 sin (\frac{4 θ}{2}) cos (- \frac{2 θ}{2})

= \frac{2 sin ( \frac{4 θ}{2} ) cos ( - \frac{2 θ}{2} )}{2 cos ( θ )}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{sin ( \frac{4 θ}{2} ) cos ( - \frac{2 θ}{2} )}{cos ( θ )}

Verwende die negative Winkelidentität:

cos (- x) = cos (x)

= \frac{cos ( \frac{2 θ}{2} ) sin ( \frac{4 θ}{2} )}{cos ( θ )}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{cos ( θ ) sin ( \frac{4 θ}{2} )}{cos ( θ )}

Teile die Zahlen:

\frac{4}{2} = 2

= \frac{cos ( θ ) sin ( 2 θ )}{cos ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (θ)

= sin (2 θ)

= sin (2 θ)

= sin (2 θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e csc (θ) - csc (θ) cos^{2} (θ) = sin (θ)

p ro v e cot (2 β) = \frac{cot ^{2} ( β ) - 1}{2 cot ( β )}

p ro v e \frac{csc ( x ) - cot ( x )}{csc ( x )} = 1 - cos (x)

p ro v e arcsec (x) = cos (x)

p ro v e (csc (θ) - cot (θ)) (1 + sec (θ)) = tan (θ)