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beweisen csc(θ)-csc(θ)cos^2(θ)=sin(θ)

Lösung

beweisen

csc (θ) - csc (θ) cos^{2} (θ) = sin (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

csc (θ) - csc (θ) cos^{2} (θ) = sin (θ)

Manipuliere die linke Seite

csc (θ) - csc (θ) cos^{2} (θ)

Drücke mit sin, cos aus

csc (θ) - cos^{2} (θ) csc (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( θ )} - cos^{2} (θ) \frac{1}{sin ( θ )}

Vereinfache

\frac{1}{sin ( θ )} - cos^{2} (θ) \frac{1}{sin ( θ )} : \frac{1 - cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{1}{sin ( θ )} - cos^{2} (θ) \frac{1}{sin ( θ )}

cos^{2} (θ) \frac{1}{sin ( θ )} = \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

cos^{2} (θ) \frac{1}{sin ( θ )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (θ) = cos^{2} (θ)

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{1}{sin ( θ )} - \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{1 - cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{1 - cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1 - cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (θ)

= sin (θ)

= sin (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e cot (2 β) = \frac{cot ^{2} ( β ) - 1}{2 cot ( β )}

p ro v e \frac{csc ( x ) - cot ( x )}{csc ( x )} = 1 - cos (x)

p ro v e arcsec (x) = cos (x)

p ro v e (csc (θ) - cot (θ)) (1 + sec (θ)) = tan (θ)

p ro v e \frac{1}{sin ( x ) cos ( x )} = sec (x) csc (x)