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dimostrare (csc(x)-cot(x))/(csc(x))=1-cos(x)

Soluzione

dimostrare

\frac{csc ( x ) - cot ( x )}{csc ( x )} = 1 - cos (x)

Vero

Fasi della soluzione

\frac{csc ( x ) - cot ( x )}{csc ( x )} = 1 - cos (x)

Manipolando il lato sinistro

\frac{csc ( x ) - cot ( x )}{csc ( x )}

Esprimere con sen e cos

\frac{- cot ( x ) + csc ( x )}{csc ( x )}

Usare l'identità trigonometrica di base:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{- \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} + csc ( x )}{csc ( x )}

Usare l'identità trigonometrica di base:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{- \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} + \frac{1}{s i n ( x )}}{\frac{1}{s i n ( x )}}

Semplifica

\frac{- \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} + \frac{1}{s i n ( x )}}{\frac{1}{s i n ( x )}} : - cos (x) + 1

\frac{- \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} + \frac{1}{s i n ( x )}}{\frac{1}{s i n ( x )}}

Combinare le frazioni

- \frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{1}{sin ( x )} : \frac{- cos ( x ) + 1}{sin ( x )}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- cos ( x ) + 1}{sin ( x )}

= \frac{\frac{- c o s ( x ) + 1}{s i n ( x )}}{\frac{1}{s i n ( x )}}

Dividi le frazioni:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( - cos ( x ) + 1 ) sin ( x )}{sin ( x ) \cdot 1}

Affinare

= \frac{( - cos ( x ) + 1 ) sin ( x )}{sin ( x )}

Cancella il fattore comune:

sin (x)

= - - cos (x) + 1

= - cos (x) + 1

= 1 - cos (x)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

p ro v e arcsec (x) = cos (x)

p ro v e (csc (θ) - cot (θ)) (1 + sec (θ)) = tan (θ)

p ro v e \frac{1}{sin ( x ) cos ( x )} = sec (x) csc (x)

p ro v e cot^{2} (x) + csc^{2} (x) = 1 + 2 cot^{2} (x)

p ro v e \frac{tan ( y ) + cot ( y )}{csc ( y )} = sec (y)