English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Populaire Trigonométrie >

prouver (sin(2x))/(1-cos(2x))=2csc(2x)-tan(x)

Solution

prouver

\frac{sin ( 2 x )}{1 - cos ( 2 x )} = 2 csc (2 x) - tan (x)

Solution

vrai

étapes des solutions

\frac{sin ( 2 x )}{1 - cos ( 2 x )} = 2 csc (2 x) - tan (x)

En manipulant le côté gauche

\frac{sin ( 2 x )}{1 - cos ( 2 x )}

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

\frac{sin ( 2 x )}{1 - cos ( 2 x )}

Utiliser l'identité d'angle double:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= \frac{2 sin ( x ) cos ( x )}{1 - cos ( 2 x )}

Utiliser l'identité d'angle double:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= \frac{2 sin ( x ) cos ( x )}{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( x ) )}

Simplifier

\frac{2 sin ( x ) cos ( x )}{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( x ) )} : \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

\frac{2 sin ( x ) cos ( x )}{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( x ) )}

Développer

1 - (1 - 2 sin^{2} (x)) : 2 sin^{2} (x)

1 - (1 - 2 sin^{2} (x))

- (1 - 2 sin^{2} (x)) : - 1 + 2 sin^{2} (x)

- (1 - 2 sin^{2} (x))

Distribuer des parenthèses

= - (1) - (- 2 sin^{2} (x))

Appliquer les règles des moins et des plus

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (x)

= 1 - 1 + 2 sin^{2} (x)

1 - 1 = 0

= 2 sin^{2} (x)

= \frac{2 sin ( x ) cos ( x )}{2 sin ^{2} ( x )}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= \frac{sin ( x ) cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Annuler le facteur commun :

sin (x)

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

En manipulant le côté droit

2 csc (2 x) - tan (x)

Exprimer avec sinus, cosinus

- tan (x) + 2 csc (2 x)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} + 2 csc (2 x)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} + 2 \cdot \frac{1}{sin ( 2 x )}

Simplifier

- \frac{sin ( x )}{cos ( x )} + 2 \cdot \frac{1}{sin ( 2 x )} : \frac{- sin ( x ) sin ( 2 x ) + 2 cos ( x )}{cos ( x ) sin ( 2 x )}

- \frac{sin ( x )}{cos ( x )} + 2 \cdot \frac{1}{sin ( 2 x )}

2 \cdot \frac{1}{sin ( 2 x )} = \frac{2}{sin ( 2 x )}

2 \cdot \frac{1}{sin ( 2 x )}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{sin ( 2 x )}

Multiplier les nombres :

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{sin ( 2 x )}

= - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} + \frac{2}{sin ( 2 x )}

Plus petit commun multiple de

cos (x), sin (2 x) : cos (x) sin (2 x)

cos (x), sin (2 x)

Plus petit commun multiple (PPCM)

Calculer une expression composée de facteurs qui apparaissent soit dans

cos (x)

ou dans

sin (2 x)

= cos (x) sin (2 x)

Ajuster des fractions sur la base du PPCM

Multiplier chaque numérateur par le même montant nécessaire pour multiplier son

dénominateur correspondant pour le mettre au PPCM

cos (x) sin (2 x)

Pour

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

sin (2 x)

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{sin ( x ) sin ( 2 x )}{cos ( x ) sin ( 2 x )}

Pour

\frac{2}{sin ( 2 x )} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

cos (x)

\frac{2}{sin ( 2 x )} = \frac{2 cos ( x )}{sin ( 2 x ) cos ( x )}

= - \frac{sin ( x ) sin ( 2 x )}{cos ( x ) sin ( 2 x )} + \frac{2 cos ( x )}{sin ( 2 x ) cos ( x )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- sin ( x ) sin ( 2 x ) + 2 cos ( x )}{cos ( x ) sin ( 2 x )}

= \frac{- sin ( x ) sin ( 2 x ) + 2 cos ( x )}{cos ( x ) sin ( 2 x )}

= \frac{2 cos ( x ) - sin ( 2 x ) sin ( x )}{cos ( x ) sin ( 2 x )}

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

\frac{2 cos ( x ) - sin ( 2 x ) sin ( x )}{cos ( x ) sin ( 2 x )}

Utiliser l'identité d'angle double:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= \frac{2 cos ( x ) - 2 sin ( x ) cos ( x ) sin ( x )}{cos ( x ) \cdot 2 sin ( x ) cos ( x )}

Simplifier

\frac{2 cos ( x ) - 2 sin ( x ) cos ( x ) sin ( x )}{cos ( x ) \cdot 2 sin ( x ) cos ( x )} : \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

\frac{2 cos ( x ) - 2 sin ( x ) cos ( x ) sin ( x )}{cos ( x ) \cdot 2 sin ( x ) cos ( x )}

2 cos (x) - 2 sin (x) cos (x) sin (x) = 2 cos (x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

2 cos (x) - 2 sin (x) cos (x) sin (x)

2 sin (x) cos (x) sin (x) = 2 sin^{2} (x) cos (x)

2 sin (x) cos (x) sin (x)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= 2 cos (x) sin^{1 + 1} (x)

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= 2 cos (x) sin^{2} (x)

= 2 cos (x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

= \frac{2 cos ( x ) - 2 sin ^{2} ( x ) cos ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x ) cos ( x )}

cos (x) \cdot 2 sin (x) cos (x) = 2 cos^{2} (x) sin (x)

cos (x) \cdot 2 sin (x) cos (x)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= 2 sin (x) cos^{1 + 1} (x)

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= 2 sin (x) cos^{2} (x)

= \frac{2 cos ( x ) - 2 sin ^{2} ( x ) cos ( x )}{2 cos ^{2} ( x ) sin ( x )}

Factoriser

2 cos (x) - 2 cos (x) sin^{2} (x) : 2 cos (x) (1 - sin^{2} (x))

2 cos (x) - 2 cos (x) sin^{2} (x)

Récrire comme

= 1 \cdot 2 cos (x) - 2 cos (x) sin^{2} (x)

Factoriser le terme commun

2 cos (x)

= 2 cos (x) (1 - sin^{2} (x))

= \frac{2 cos ( x ) ( 1 - sin ^{2} ( x ) )}{2 sin ( x ) cos ^{2} ( x )}

Annuler

\frac{2 cos ( x ) ( 1 - sin ^{2} ( x ) )}{2 sin ( x ) cos ^{2} ( x )} : \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

\frac{2 cos ( x ) ( 1 - sin ^{2} ( x ) )}{2 sin ( x ) cos ^{2} ( x )}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= \frac{cos ( x ) ( - sin ^{2} ( x ) + 1 )}{cos ^{2} ( x ) sin ( x )}

Annuler le facteur commun :

cos (x)

= \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

Utiliser l'identité hyperbolique:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

Annuler le facteur commun :

cos (x)

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Nous avons démontré que les deux côtés pourraient avoir la même forme

\Rightarrow vrai

Exemples populaires

prouver tan(x)=tan(x)*csc^2(x)+cot(-x)

p ro v e tan (x) = tan (x) \cdot csc^{2} (x) + cot (- x)

prouver (1-cos(2θ)+sin(2θ))/(1+cos(2θ)+sin(2θ))=tan(θ)

p ro v e \frac{1 - cos ( 2 θ ) + sin ( 2 θ )}{1 + cos ( 2 θ ) + sin ( 2 θ )} = tan (θ)

prouver cot(x)sec^2(x)-cot(x)=tan(x)

p ro v e cot (x) sec^{2} (x) - cot (x) = tan (x)

prouver cos(-pi/4-5t)=cos(5t+pi/4)

p ro v e cos (- \frac{π}{4} - 5 t) = cos (5 t + \frac{π}{4})

prouver tan(pi/4-θ)=(1-tan(θ))/(1+tan(θ))

p ro v e tan (\frac{π}{4} - θ) = \frac{1 - tan ( θ )}{1 + tan ( θ )}