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人気のある三角関数 >

証明する (1-cos(2θ)+sin(2θ))/(1+cos(2θ)+sin(2θ))=tan(θ)

解

証明する

\frac{1 - cos ( 2 θ ) + sin ( 2 θ )}{1 + cos ( 2 θ ) + sin ( 2 θ )} = tan (θ)

解

真

解答ステップ

\frac{1 - cos ( 2 θ ) + sin ( 2 θ )}{1 + cos ( 2 θ ) + sin ( 2 θ )} = tan (θ)

左側を操作する

\frac{1 - cos ( 2 θ ) + sin ( 2 θ )}{1 + cos ( 2 θ ) + sin ( 2 θ )}

三角関数の公式を使用して書き換える

\frac{1 - cos ( 2 θ ) + sin ( 2 θ )}{1 + cos ( 2 θ ) + sin ( 2 θ )}

以下を乗じる:

\frac{1 + cos ( 2 θ )}{1 + cos ( 2 θ )}

= \frac{\frac{( 1 - c o s ( 2 θ ) ) ( 1 + c o s ( 2 θ ) )}{1 + c o s ( 2 θ )} + sin ( 2 θ )}{1 + cos ( 2 θ ) + sin ( 2 θ )}

2乗の差の公式を適用する:

2 θ^{2} - y^{2} = (2 θ + y) (2 θ - y)

(1 - cos (2 θ)) (1 + cos (2 θ)) = 1 - cos^{2} (2 θ)

= \frac{\frac{1 - c o s ^{2} ( 2 θ )}{1 + c o s ( 2 θ )} + sin ( 2 θ )}{1 + cos ( 2 θ ) + sin ( 2 θ )}

ピタゴラスの公式を使用する:

1 = cos^{2} (2 θ) + sin^{2} (2 θ)

1 - cos^{2} (2 θ) = sin^{2} (2 θ)

= \frac{\frac{s i n ^{2} ( 2 θ )}{1 + c o s ( 2 θ )} + sin ( 2 θ )}{1 + cos ( 2 θ ) + sin ( 2 θ )}

簡素化

\frac{\frac{s i n ^{2} ( 2 θ )}{1 + c o s ( 2 θ )} + sin ( 2 θ )}{1 + cos ( 2 θ ) + sin ( 2 θ )} : \frac{sin ( 2 θ )}{1 + cos ( 2 θ )}

\frac{\frac{s i n ^{2} ( 2 θ )}{1 + c o s ( 2 θ )} + sin ( 2 θ )}{1 + cos ( 2 θ ) + sin ( 2 θ )}

結合

\frac{sin ^{2} ( 2 θ )}{1 + cos ( 2 θ )} + sin (2 θ) : \frac{sin ^{2} ( 2 θ ) + sin ( 2 θ ) ( cos ( 2 θ ) + 1 )}{1 + cos ( 2 θ )}

\frac{sin ^{2} ( 2 θ )}{1 + cos ( 2 θ )} + sin (2 θ)

元を分数に変換する:

sin (2 θ) = \frac{sin ( 2 θ ) ( 1 + cos ( 2 θ ) )}{1 + cos ( 2 θ )}

= \frac{sin ^{2} ( 2 θ )}{1 + cos ( 2 θ )} + \frac{sin ( 2 θ ) ( 1 + cos ( 2 θ ) )}{1 + cos ( 2 θ )}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ^{2} ( 2 θ ) + sin ( 2 θ ) ( 1 + cos ( 2 θ ) )}{1 + cos ( 2 θ )}

= \frac{\frac{s i n ^{2} ( 2 θ ) + s i n ( 2 θ ) ( c o s ( 2 θ ) + 1 )}{1 + c o s ( 2 θ )}}{1 + cos ( 2 θ ) + sin ( 2 θ )}

分数の規則を適用する:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{sin ^{2} ( 2 θ ) + sin ( 2 θ ) ( 1 + cos ( 2 θ ) )}{( 1 + cos ( 2 θ ) ) ( 1 + cos ( 2 θ ) + sin ( 2 θ ) )}

因数

sin^{2} (2 θ) + sin (2 θ) (1 + cos (2 θ)) : sin (2 θ) (sin (2 θ) + 1 + cos (2 θ))

sin^{2} (2 θ) + sin (2 θ) (1 + cos (2 θ))

指数の規則を適用する:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

sin^{2} (2 θ) = sin (2 θ) sin (2 θ)

= sin (2 θ) sin (2 θ) + sin (2 θ) (1 + cos (2 θ))

共通項をくくり出す

sin (2 θ)

= sin (2 θ) (sin (2 θ) + 1 + cos (2 θ))

= \frac{sin ( 2 θ ) ( sin ( 2 θ ) + 1 + cos ( 2 θ ) )}{( 1 + cos ( 2 θ ) ) ( 1 + cos ( 2 θ ) + sin ( 2 θ ) )}

共通因数を約分する:

sin (2 θ) + 1 + cos (2 θ)

= \frac{sin ( 2 θ )}{1 + cos ( 2 θ )}

= \frac{sin ( 2 θ )}{1 + cos ( 2 θ )}

2倍角の公式を使用:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= \frac{2 sin ( θ ) cos ( θ )}{1 + cos ( 2 θ )}

2倍角の公式を使用:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= \frac{2 sin ( θ ) cos ( θ )}{1 + 2 cos ^{2} ( θ ) - 1}

簡素化

\frac{2 sin ( θ ) cos ( θ )}{1 + 2 cos ^{2} ( θ ) - 1} : \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

\frac{2 sin ( θ ) cos ( θ )}{1 + 2 cos ^{2} ( θ ) - 1}

1 + 2 cos^{2} (θ) - 1 = 2 cos^{2} (θ)

1 + 2 cos^{2} (θ) - 1

条件のようなグループ

= 2 cos^{2} (θ) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 cos^{2} (θ)

= \frac{2 sin ( θ ) cos ( θ )}{2 cos ^{2} ( θ )}

数を割る:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{sin ( θ ) cos ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

共通因数を約分する:

cos (θ)

= \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

基本的な三角関数の公式を使用する:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

= tan (θ)

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真

人気の例

証明する cot(x)sec^2(x)-cot(x)=tan(x)

p ro v e cot (x) sec^{2} (x) - cot (x) = tan (x)

証明する cos(-pi/4-5t)=cos(5t+pi/4)

p ro v e cos (- \frac{π}{4} - 5 t) = cos (5 t + \frac{π}{4})

証明する tan(pi/4-θ)=(1-tan(θ))/(1+tan(θ))

p ro v e tan (\frac{π}{4} - θ) = \frac{1 - tan ( θ )}{1 + tan ( θ )}

証明する cos^2(B)= 1/2 (1+cos(2B))

p ro v e cos^{2} (B) = \frac{1}{2} (1 + cos (2 B))

証明する sin(θ+pi)=-sin(θ)

p ro v e sin (θ + π) = - sin (θ)