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beweisen 1/(sin(x))-sin(x)=cot(x)cos(x)

Lösung

beweisen

\frac{1}{sin ( x )} - sin (x) = cot (x) cos (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{1}{sin ( x )} - sin (x) = cot (x) cos (x)

Manipuliere die rechte Seite

cot (x) cos (x)

Drücke mit sin, cos aus

cos (x) cot (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= cos (x) \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Vereinfache

cos (x) \frac{cos ( x )}{sin ( x )} : \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

cos (x) \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{cos ( x ) cos ( x )}{sin ( x )}

cos (x) cos (x) = cos^{2} (x)

cos (x) cos (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= cos^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Multipliziere aus

\frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x )} : \frac{1}{sin ( x )} - sin (x)

\frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x )} = \frac{1}{sin ( x )} - \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( x )} - \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Streiche

\frac{sin ^{2} ( x )}{sin ( x )} : sin (x)

\frac{sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (x)

= sin (x)

= \frac{1}{sin ( x )} - sin (x)

= \frac{1}{sin ( x )} - sin (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sin (3 x) = 3 sin (x) - 4 (sin (x))^{3}

p ro v e \frac{sin ( θ ) - 1}{cos ( θ )} = tan (θ) - sec (θ)

p ro v e cot (x) \cdot sec (x) = csc (x)

p ro v e 2 - csc^{2} (θ) = 1 - cot^{2} (θ)

p ro v e 1 - \frac{cos ^{2} ( x )}{1 - sin ( x )} = - sin (x)