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integral of (sqrt(x+49))/x

Lösung

\int \frac{x + 49}{x} d x

- 14 (\frac{1}{2} ln \frac{x + 49}{7} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{x + 49}{7} - 1 - \frac{1}{7} x + 49) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x + 49}{x} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{2 u ^{2}}{u ^{2} - 49} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{u ^{2}}{u ^{2} - 49} d u

Faktorisiere

u^{2} - 49 : - (- u^{2} + 49)

= 2 \cdot \int \frac{u ^{2}}{- ( - u ^{2} + 49 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 (- \int \frac{u ^{2}}{- u ^{2} + 49} d u)

Wende integrale Substitution an

= 2 (- \int \frac{7 v ^{2}}{- v ^{2} + 1} d v)

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 (- 7 \cdot \int \frac{v ^{2}}{- v ^{2} + 1} d v)

\frac{v ^{2}}{- v ^{2} + 1} = \frac{1}{- v ^{2} + 1} - 1

= 2 (- 7 \cdot \int \frac{1}{- v ^{2} + 1} - 1 d v)

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 (- 7 (\int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v - \int 1 d v))

\int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v = \frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}

\int 1 d v = v

= 2 (- 7 (\frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2} - v))

Ersetze zurück

= 2 - 7 \frac{ln \frac{x + 49}{7} + 1}{2} - \frac{ln \frac{x + 49}{7} - 1}{2} - \frac{x + 49}{7}

Vereinfache

2 - 7 \frac{ln \frac{x + 49}{7} + 1}{2} - \frac{ln \frac{x + 49}{7} - 1}{2} - \frac{x + 49}{7} : - 14 (\frac{1}{2} ln \frac{x + 49}{7} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{x + 49}{7} - 1 - \frac{1}{7} x + 49)

= - 14 (\frac{1}{2} ln \frac{x + 49}{7} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{x + 49}{7} - 1 - \frac{1}{7} x + 49)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - 14 (\frac{1}{2} ln \frac{x + 49}{7} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{x + 49}{7} - 1 - \frac{1}{7} x + 49) + C

\int \frac{x ^{3} ( 1 )}{1 - x ^{8}} d x

\frac{d}{d t} (- e^{- t} sin (t) + e^{- t} cos (t))

d er i v a t i v e \frac{2 x ^{2}}{5}

x \to 0 lim (\frac{a ^{x} - 1}{x})

\int 2 x (x^{2} + 4)^{3} d x