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Populaire Trigonométrie >

1/(sin(2x))< 1/(sin(x)),0<= x<= pi

Solution

\frac{1}{sin ( 2 x )} < \frac{1}{sin ( x )}, 0 \leq x \leq π

Solution

0 < x < \frac{π}{3} or \frac{π}{2} < x < π

La notation des intervalles

(0, \frac{π}{3}) \cup (\frac{π}{2}, π)

Décimale

0 < x < 1.04719 \dots or 1.57079 \dots < x < 3.14159 \dots

étapes des solutions

\frac{1}{sin ( 2 x )} < \frac{1}{sin ( x )}, 0 \leq x \leq π

Déplacer

\frac{1}{sin ( x )}

vers la gauche

\frac{1}{sin ( 2 x )} < \frac{1}{sin ( x )}

Soustraire

\frac{1}{sin ( x )}

des deux côtés

\frac{1}{sin ( 2 x )} - \frac{1}{sin ( x )} < \frac{1}{sin ( x )} - \frac{1}{sin ( x )}

\frac{1}{sin ( 2 x )} - \frac{1}{sin ( x )} < 0

\frac{1}{sin ( 2 x )} - \frac{1}{sin ( x )} < 0

Utiliser les identités suivantes:

sin (2 x) = 2 cos (x) sin (x)

\frac{1}{2 cos ( x ) sin ( x )} - \frac{1}{sin ( x )} < 0

Simplifier

\frac{1}{2 cos ( x ) sin ( x )} - \frac{1}{sin ( x )} : \frac{1 - 2 cos ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x )}

\frac{1}{2 cos ( x ) sin ( x )} - \frac{1}{sin ( x )}

Plus petit commun multiple de

2 cos (x) sin (x), sin (x) : 2 cos (x) sin (x)

2 cos (x) sin (x), sin (x)

Plus petit commun multiple (PPCM)

Calculer une expression composée de facteurs qui apparaissent soit dans

2 cos (x) sin (x)

ou dans

sin (x)

= 2 cos (x) sin (x)

Ajuster des fractions sur la base du PPCM

Multiplier chaque numérateur par le même montant nécessaire pour multiplier son

dénominateur correspondant pour le mettre au PPCM

2 cos (x) sin (x)

Pour

\frac{1}{sin ( x )} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

2 cos (x)

\frac{1}{sin ( x )} = \frac{1 \cdot 2 cos ( x )}{sin ( x ) \cdot 2 cos ( x )} = \frac{2 cos ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x )}

= \frac{1}{2 cos ( x ) sin ( x )} - \frac{2 cos ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - 2 cos ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x )}

\frac{1 - 2 cos ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x )} < 0

Périodicité de

\frac{1}{2 cos ( x ) sin ( x )} - \frac{1}{sin ( x )} : 2 π

La périodicité composée de la somme des fonctions périodiques est le plus petit commun multiple des périodes

\frac{1}{2 cos ( x ) sin ( x )}, \frac{1}{sin ( x )}

Périodicité de

\frac{1}{2 cos ( x ) sin ( x )} : π

\frac{1}{2 cos ( x ) sin ( x )}

iest composée des fonctions et des périodes suivantes :

cos (x)

avec une périodicité de

2 π

Le composant de périodicité est :

π

Périodicité de

\frac{1}{sin ( x )} : 2 π

Périodicité de

a \cdot sin (b x + c) + d = \frac{p e ˊ riodicit e ˊ de sin ( x )}{∣ b ∣}

La périodicité de

sin (x)

est

2 π

= \frac{2 π}{∣ 1 ∣}

Simplifier

= 2 π

Combiner des périodes :

π, 2 π

= 2 π

Trouver les points zéros et les points non définis de

\frac{1 - 2 cos ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x )}

pour

0 \leq x < 2 π

Pour trouver les points zéros, définir l'inégalité à zéro

\frac{1 - 2 cos ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x )} = 0

\frac{1 - 2 cos ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π : x = \frac{π}{3}, x = \frac{5 π}{3}

\frac{1 - 2 cos ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

1 - 2 cos (x) = 0

Déplacer

1

vers la droite

1 - 2 cos (x) = 0

Soustraire

1

des deux côtés

1 - 2 cos (x) - 1 = 0 - 1

Simplifier

- 2 cos (x) = - 1

- 2 cos (x) = - 1

Diviser les deux côtés par

- 2

- 2 cos (x) = - 1

Diviser les deux côtés par

- 2

\frac{- 2 cos ( x )}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}

Simplifier

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = \frac{1}{2}

Solutions générales pour

cos (x) = \frac{1}{2}

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Solutions pour la plage

0 \leq x < 2 π

x = \frac{π}{3}, x = \frac{5 π}{3}

Trouver les points non définis:

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}, x = 0, x = π

Trouver les zéros du dénominateur

2 cos (x) sin (x) = 0

En solutionnant chaque partie séparément

cos (x) = 0 or sin (x) = 0

cos (x) = 0, 0 \leq x < 2 π : x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

cos (x) = 0, 0 \leq x < 2 π

Solutions générales pour

cos (x) = 0

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Solutions pour la plage

0 \leq x < 2 π

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

sin (x) = 0, 0 \leq x < 2 π : x = 0, x = π

sin (x) = 0, 0 \leq x < 2 π

Solutions générales pour

sin (x) = 0

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Résoudre

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Solutions pour la plage

0 \leq x < 2 π

x = 0, x = π

Combiner toutes les solutions

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}, x = 0, x = π

0, \frac{π}{3}, \frac{π}{2}, π, \frac{3 π}{2}, \frac{5 π}{3}

Identifier les intervalles

0 < x < \frac{π}{3}, \frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < π, π < x < \frac{3 π}{2}, \frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}, \frac{5 π}{3} < x < 2 π

Récapituler dans un tableau:

1 - 2 cos (x) cos (x) sin (x) \frac{1 - 2 c o s ( x )}{2 c o s ( x ) s i n ( x )} x = 0 - + 0 Ind \overset{e}{ˊ} fini 0 < x < \frac{π}{3} - + + - x = \frac{π}{3} 0 + + 0 \frac{π}{3} < x < \frac{π}{2} + + + + x = \frac{π}{2} + 0 + Ind \overset{e}{ˊ} fini \frac{π}{2} < x < π + - + - x = π + - 0 Ind \overset{e}{ˊ} fini π < x < \frac{3 π}{2} + - - + x = \frac{3 π}{2} + 0 - Ind \overset{e}{ˊ} fini \frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3} + + - - x = \frac{5 π}{3} 0 + - 0 \frac{5 π}{3} < x < 2 π - + - + x = 2 π - + 0 Ind \overset{e}{ˊ} fini

Identifier les intervalles qui répondent à la conditions requise :

< 0

0 < x < \frac{π}{3} or \frac{π}{2} < x < π or \frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}

Appliquer la périodicité de

\frac{1}{2 cos ( x ) sin ( x )} - \frac{1}{sin ( x )}

2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x < π + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < \frac{5 π}{3} + 2 πn

Réunir les intervalles

2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x < π + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < \frac{5 π}{3} + 2 πn and 0 \leq x \leq π

0 < x < \frac{π}{3} or \frac{π}{2} < x < π

Graphe

Exemples populaires

2tan(2x)<= 3tan(x)

2 tan (2 x) \leq 3 tan (x)

1/((sin(x))^2)< 4/3 ,0<x< pi/(15)

\frac{1}{( sin ( x ) ) ^{2}} < \frac{4}{3}, 0 < x < \frac{π}{15}

cos^2(x)<sin^2(x)

cos^{2} (x) < sin^{2} (x)

sin(x-45)> 1/2 sqrt(3),0<= x<= 360

sin (x - 4 5^{\circ}) > \frac{1}{2} 3, 0^{\circ} \leq x \leq 36 0^{\circ}

2sin^2(x)>-1

2 sin^{2} (x) > - 1