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Populaire Trigonométrie >

1/((sin(x))^2)< 4/3 ,0<x< pi/(15)

Solution

\frac{1}{( sin ( x ) ) ^{2}} < \frac{4}{3}, 0 < x < \frac{π}{15}

Solution

\frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{2 π}{3} + 2 πn or - \frac{2 π}{3} + 2 πn < x < - \frac{π}{3} + 2 πn

La notation des intervalles

(\frac{π}{3} + 2 πn, \frac{2 π}{3} + 2 πn) \cup (- \frac{2 π}{3} + 2 πn, - \frac{π}{3} + 2 πn)

Décimale

1.04719 \dots + 2 πn < x < 2.09439 \dots + 2 πn or - 2.09439 \dots + 2 πn < x < - 1.04719 \dots + 2 πn

étapes des solutions

\frac{1}{( sin ( x ) ) ^{2}} < \frac{4}{3}, 0 < x < \frac{π}{15}

Récrire sous la forme standard

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} < \frac{4}{3}

Soustraire

\frac{4}{3}

des deux côtés

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} - \frac{4}{3} < \frac{4}{3} - \frac{4}{3}

Simplifier

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} - \frac{4}{3} < 0

Simplifier

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} - \frac{4}{3} : \frac{3 - 4 sin ^{2} ( x )}{3 sin ^{2} ( x )}

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} - \frac{4}{3}

Plus petit commun multiple de

sin^{2} (x), 3 : 3 sin^{2} (x)

sin^{2} (x), 3

Plus petit commun multiple (PPCM)

Calculer une expression composée de facteurs qui apparaissent soit dans

sin^{2} (x)

ou dans

3

= 3 sin^{2} (x)

Ajuster des fractions sur la base du PPCM

Multiplier chaque numérateur par le même montant nécessaire pour multiplier son

dénominateur correspondant pour le mettre au PPCM

3 sin^{2} (x)

Pour

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

3

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} = \frac{1 \cdot 3}{sin ^{2} ( x ) \cdot 3} = \frac{3}{3 sin ^{2} ( x )}

Pour

\frac{4}{3} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

sin^{2} (x)

\frac{4}{3} = \frac{4 sin ^{2} ( x )}{3 sin ^{2} ( x )}

= \frac{3}{3 sin ^{2} ( x )} - \frac{4 sin ^{2} ( x )}{3 sin ^{2} ( x )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 - 4 sin ^{2} ( x )}{3 sin ^{2} ( x )}

\frac{3 - 4 sin ^{2} ( x )}{3 sin ^{2} ( x )} < 0

Multiplier les deux côtés par

3

\frac{3 ( 3 - 4 sin ^{2} ( x ) )}{3 sin ^{2} ( x )} < 0 \cdot 3

Simplifier

\frac{3 - 4 sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} < 0

\frac{3 - 4 sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} < 0

Factoriser

\frac{3 - 4 sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} : \frac{- ( 2 sin ( x ) + 3 ) ( 2 sin ( x ) - 3 )}{sin ^{2} ( x )}

\frac{3 - 4 sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Factoriser

- 4 sin^{2} (x) + 3 : - (2 sin (x) + 3) (2 sin (x) - 3)

- 4 sin^{2} (x) + 3

Factoriser le terme commun

- 1

= - (4 sin^{2} (x) - 3)

Factoriser

4 sin^{2} (x) - 3 : (2 sin (x) + 3) (2 sin (x) - 3)

4 sin^{2} (x) - 3

Récrire

4 sin^{2} (x) - 3

comme

(2 sin (x))^{2} - (3)^{2}

4 sin^{2} (x) - 3

Récrire

4

comme

2^{2}

= 2^{2} sin^{2} (x) - 3

Appliquer la règle des radicaux:

a = (a)^{2}

3 = (3)^{2}

= 2^{2} sin^{2} (x) - (3)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

2^{2} sin^{2} (x) = (2 sin (x))^{2}

= (2 sin (x))^{2} - (3)^{2}

= (2 sin (x))^{2} - (3)^{2}

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 sin (x))^{2} - (3)^{2} = (2 sin (x) + 3) (2 sin (x) - 3)

= (2 sin (x) + 3) (2 sin (x) - 3)

= - (2 sin (x) + 3) (2 sin (x) - 3)

= \frac{- ( 2 sin ( x ) + 3 ) ( 2 sin ( x ) - 3 )}{sin ^{2} ( x )}

\frac{- ( 2 sin ( x ) + 3 ) ( 2 sin ( x ) - 3 )}{sin ^{2} ( x )} < 0

Multiplier les deux côtés par

- 1

(inverser l'inégalité)

\frac{( - ( 2 sin ( x ) + 3 ) ( 2 sin ( x ) - 3 ) ) ( - 1 )}{sin ^{2} ( x )} > 0 \cdot (- 1)

Simplifier

\frac{( 2 sin ( x ) + 3 ) ( 2 sin ( x ) - 3 )}{sin ^{2} ( x )} > 0

Identifier les intervalles

Trouver les signes des facteurs de

\frac{( 2 sin ( x ) + 3 ) ( 2 sin ( x ) - 3 )}{sin ^{2} ( x )}

Trouver les signes de

2 sin (x) + 3

2 sin (x) + 3 = 0 : sin (x) = - \frac{3}{2}

2 sin (x) + 3 = 0

Déplacer

3

vers la droite

2 sin (x) + 3 = 0

Soustraire

3

des deux côtés

2 sin (x) + 3 - 3 = 0 - 3

Simplifier

2 sin (x) = - 3

2 sin (x) = - 3

Diviser les deux côtés par

2

2 sin (x) = - 3

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 sin ( x )}{2} = \frac{- 3}{2}

Simplifier

sin (x) = - \frac{3}{2}

sin (x) = - \frac{3}{2}

2 sin (x) + 3 < 0 : sin (x) < - \frac{3}{2}

2 sin (x) + 3 < 0

Déplacer

3

vers la droite

2 sin (x) + 3 < 0

Soustraire

3

des deux côtés

2 sin (x) + 3 - 3 < 0 - 3

Simplifier

2 sin (x) < - 3

2 sin (x) < - 3

Diviser les deux côtés par

2

2 sin (x) < - 3

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 sin ( x )}{2} < \frac{- 3}{2}

Simplifier

sin (x) < - \frac{3}{2}

sin (x) < - \frac{3}{2}

2 sin (x) + 3 > 0 : sin (x) > - \frac{3}{2}

2 sin (x) + 3 > 0

Déplacer

3

vers la droite

2 sin (x) + 3 > 0

Soustraire

3

des deux côtés

2 sin (x) + 3 - 3 > 0 - 3

Simplifier

2 sin (x) > - 3

2 sin (x) > - 3

Diviser les deux côtés par

2

2 sin (x) > - 3

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 sin ( x )}{2} > \frac{- 3}{2}

Simplifier

sin (x) > - \frac{3}{2}

sin (x) > - \frac{3}{2}

Trouver les signes de

2 sin (x) - 3

2 sin (x) - 3 = 0 : sin (x) = \frac{3}{2}

2 sin (x) - 3 = 0

Déplacer

3

vers la droite

2 sin (x) - 3 = 0

Ajouter

3

aux deux côtés

2 sin (x) - 3 + 3 = 0 + 3

Simplifier

2 sin (x) = 3

2 sin (x) = 3

Diviser les deux côtés par

2

2 sin (x) = 3

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 sin ( x )}{2} = \frac{3}{2}

Simplifier

sin (x) = \frac{3}{2}

sin (x) = \frac{3}{2}

2 sin (x) - 3 < 0 : sin (x) < \frac{3}{2}

2 sin (x) - 3 < 0

Déplacer

3

vers la droite

2 sin (x) - 3 < 0

Ajouter

3

aux deux côtés

2 sin (x) - 3 + 3 < 0 + 3

Simplifier

2 sin (x) < 3

2 sin (x) < 3

Diviser les deux côtés par

2

2 sin (x) < 3

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 sin ( x )}{2} < \frac{3}{2}

Simplifier

sin (x) < \frac{3}{2}

sin (x) < \frac{3}{2}

2 sin (x) - 3 > 0 : sin (x) > \frac{3}{2}

2 sin (x) - 3 > 0

Déplacer

3

vers la droite

2 sin (x) - 3 > 0

Ajouter

3

aux deux côtés

2 sin (x) - 3 + 3 > 0 + 3

Simplifier

2 sin (x) > 3

2 sin (x) > 3

Diviser les deux côtés par

2

2 sin (x) > 3

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 sin ( x )}{2} > \frac{3}{2}

Simplifier

sin (x) > \frac{3}{2}

sin (x) > \frac{3}{2}

Trouver les signes de

sin^{2} (x)

sin^{2} (x) = 0 : sin (x) = 0

sin^{2} (x) = 0

Appliquer la règle

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

sin (x) = 0

sin^{2} (x) > 0 : sin (x) < 0 or sin (x) > 0

sin^{2} (x) > 0

Pour

u^{n} > 0

, si

n

est pair alors

u < 0

u > 0

sin (x) < 0 or sin (x) > 0

Trouver les points de singularité

Trouver les zéros du dénominateur

sin^{2} (x) :

Aucune solution

sin^{2} (x) = 0

Les côtés ne sont pas égaux

Aucune solution

Récapituler dans un tableau:

2 sin (x) + 3 2 sin (x) - 3 sin^{2} (x) \frac{( 2 s i n ( x ) + 3 ) ( 2 s i n ( x ) - 3 )}{s i n ^{2} ( x )} sin (x) < - \frac{3}{2} - - + + sin (x) = - \frac{3}{2} 0 - + 0 - \frac{3}{2} < sin (x) < 0 + - + - sin (x) = 0 + - 0 Ind \overset{e}{ˊ} fini 0 < sin (x) < \frac{3}{2} + - + - sin (x) = \frac{3}{2} + 0 + 0 sin (x) > \frac{3}{2} + + + +

Identifier les intervalles qui répondent à la conditions requise :

> 0

sin (x) < - \frac{3}{2} or sin (x) > \frac{3}{2}

sin (x) < - \frac{3}{2} or sin (x) > \frac{3}{2}

sin (x) < - \frac{3}{2} : - \frac{2 π}{3} + 2 πn < x < - \frac{π}{3} + 2 πn

sin (x) < - \frac{3}{2}

Pour

sin (x) < a

, si

- 1 < a \leq 1

alors

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (- \frac{3}{2}) + 2 πn < x < arcsin (- \frac{3}{2}) + 2 πn

Simplifier

- π - arcsin (- \frac{3}{2}) : - \frac{2 π}{3}

- π - arcsin (- \frac{3}{2})

arcsin (- \frac{3}{2}) = - \frac{π}{3}

arcsin (- \frac{3}{2})

Utiliser la propriété suivante :

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{3}{2}) = - arcsin (\frac{3}{2})

= - arcsin (\frac{3}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (\frac{3}{2}) = \frac{π}{3}

arcsin (\frac{3}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

= - \frac{π}{3}

= - π - (- \frac{π}{3})

Simplifier

- π - (- \frac{π}{3})

Appliquer la règle

- (- a) = a

= - π + \frac{π}{3}

Convertir un élément en fraction:

π = \frac{π 3}{3}

= - \frac{π 3}{3} + \frac{π}{3}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 3 + π}{3}

Additionner les éléments similaires :

- 3 π + π = - 2 π

= \frac{- 2 π}{3}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 π}{3}

= - \frac{2 π}{3}

Simplifier

arcsin (- \frac{3}{2}) : - \frac{π}{3}

arcsin (- \frac{3}{2})

Utiliser la propriété suivante :

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{3}{2}) = - arcsin (\frac{3}{2})

= - arcsin (\frac{3}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (\frac{3}{2}) = \frac{π}{3}

arcsin (\frac{3}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

= - \frac{π}{3}

- \frac{2 π}{3} + 2 πn < x < - \frac{π}{3} + 2 πn

sin (x) > \frac{3}{2} : \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{2 π}{3} + 2 πn

sin (x) > \frac{3}{2}

Pour

sin (x) > a

, si

- 1 \leq a < 1

alors

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{3}{2}) + 2 πn < x < π - arcsin (\frac{3}{2}) + 2 πn

Simplifier

arcsin (\frac{3}{2}) : \frac{π}{3}

arcsin (\frac{3}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (\frac{3}{2}) = \frac{π}{3}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

Simplifier

π - arcsin (\frac{3}{2}) : \frac{2 π}{3}

π - arcsin (\frac{3}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (\frac{3}{2}) = \frac{π}{3}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{3}

Simplifier

π - \frac{π}{3}

Convertir un élément en fraction:

π = \frac{π 3}{3}

= \frac{π 3}{3} - \frac{π}{3}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 3 - π}{3}

Additionner les éléments similaires :

3 π - π = 2 π

= \frac{2 π}{3}

= \frac{2 π}{3}

\frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{2 π}{3} + 2 πn

Réunir les intervalles

- \frac{2 π}{3} + 2 πn < x < - \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{2 π}{3} + 2 πn

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

\frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{2 π}{3} + 2 πn or - \frac{2 π}{3} + 2 πn < x < - \frac{π}{3} + 2 πn

Exemples populaires

cos^2(x)<sin^2(x)

cos^{2} (x) < sin^{2} (x)

sin(x-45)> 1/2 sqrt(3),0<= x<= 360

sin (x - 4 5^{\circ}) > \frac{1}{2} 3, 0^{\circ} \leq x \leq 36 0^{\circ}

2sin^2(x)>-1

2 sin^{2} (x) > - 1

sin(θ)+cos(θ)+1>0

sin (θ) + cos (θ) + 1 > 0

-cos(x)-4sin(2x)<0

- cos (x) - 4 sin (2 x) < 0