English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Популярное Тригонометрия >

(tan(x)+1)/(tan(x)-1)<= 0

Решение

\frac{tan ( x ) + 1}{tan ( x ) - 1} \leq 0

Решение

πn \leq x < \frac{π}{4} + πn or \frac{3 π}{4} + πn \leq x < π + πn

Обозначение интервала

[πn, \frac{π}{4} + πn) \cup [\frac{3 π}{4} + πn, π + πn)

десятичными цифрами

πn \leq x < 0.78539 \dots + πn or 2.35619 \dots + πn \leq x < 3.14159 \dots + πn

Шаги решения

\frac{tan ( x ) + 1}{tan ( x ) - 1} \leq 0

Допустим:

u = tan (x)

\frac{u + 1}{u - 1} \leq 0

\frac{u + 1}{u - 1} \leq 0 : - 1 \leq u < 1

\frac{u + 1}{u - 1} \leq 0

Определите интервалы

Найдите знаки множителей

\frac{u + 1}{u - 1}

Найдите признаки

u + 1

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Переместите

1

вправо

u + 1 = 0

Вычтите

1

с обеих сторон

u + 1 - 1 = 0 - 1

После упрощения получаем

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

Переместите

1

вправо

u + 1 < 0

Вычтите

1

с обеих сторон

u + 1 - 1 < 0 - 1

После упрощения получаем

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

Переместите

1

вправо

u + 1 > 0

Вычтите

1

с обеих сторон

u + 1 - 1 > 0 - 1

После упрощения получаем

u > - 1

u > - 1

Найдите признаки

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Переместите

1

вправо

u - 1 = 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

u - 1 + 1 = 0 + 1

После упрощения получаем

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

Переместите

1

вправо

u - 1 < 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

u - 1 + 1 < 0 + 1

После упрощения получаем

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

Переместите

1

вправо

u - 1 > 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

u - 1 + 1 > 0 + 1

После упрощения получаем

u > 1

u > 1

Найдите точки сингулярности

Найдите нули знаменателя

u - 1 : u = 1

u - 1 = 0

Переместите

1

вправо

u - 1 = 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

u - 1 + 1 = 0 + 1

После упрощения получаем

u = 1

u = 1

Свести в таблицу:

u + 1 u - 1 \frac{u + 1}{u - 1} u < - 1 - - + u = - 1 0 - 0 - 1 < u < 1 + - - u = 1 + 0 Неопределенный u > 1 + + +

Определите интервалы, удовлетворяющие требуемому условию:

\leq 0

u = - 1 or - 1 < u < 1

Объединить Перекрывающиеся Интервалы

u = - 1 or - 1 < u < 1

Объединение двух интервалов — это набор чисел, которые находятся либо в интервале

u = - 1

либо

- 1 < u < 1

- 1 \leq u < 1

- 1 \leq u < 1

- 1 \leq u < 1

- 1 \leq u < 1

Делаем обратную замену

u = tan (x)

- 1 \leq tan (x) < 1

Если

a \leq u < b,

то

a \leq u and u < b

- 1 \leq tan (x) and tan (x) < 1

- 1 \leq tan (x) : - \frac{π}{4} + πn \leq x < \frac{π}{2} + πn

- 1 \leq tan (x)

Поменяйте стороны

tan (x) \geq - 1

Если

tan (x) \geq a,

то

arctan (a) + πn \leq x < \frac{π}{2} + πn

arctan (- 1) + πn \leq x < \frac{π}{2} + πn

Упростите

arctan (- 1) : - \frac{π}{4}

arctan (- 1)

Используйте следующее свойство:

arctan (- x) = - arctan (x)

arctan (- 1) = - arctan (1)

= - arctan (1)

Используйте следующее тривиальное тождество:

arctan (1) = \frac{π}{4}

arctan (1)

x 0 \frac{3}{3} 13 arctan (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} arctan (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

= - \frac{π}{4}

- \frac{π}{4} + πn \leq x < \frac{π}{2} + πn

tan (x) < 1 : - \frac{π}{2} + πn < x < \frac{π}{4} + πn

tan (x) < 1

Если

tan (x) < a,

то

- \frac{π}{2} + πn < x < arctan (a) + πn

- \frac{π}{2} + πn < x < arctan (1) + πn

Упростите

arctan (1) : \frac{π}{4}

arctan (1)

Используйте следующее тривиальное тождество:

arctan (1) = \frac{π}{4}

x 0 \frac{3}{3} 13 arctan (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} arctan (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

- \frac{π}{2} + πn < x < \frac{π}{4} + πn

Объедините интервалы

- \frac{π}{4} + πn \leq x < \frac{π}{2} + πn and - \frac{π}{2} + πn < x < \frac{π}{4} + πn

Объединить Перекрывающиеся Интервалы

πn \leq x < \frac{π}{4} + πn or \frac{3 π}{4} + πn \leq x < π + πn

(tan(x)+1)/(tan(x)-1)<= 0

Решение

Решение

Популярные примеры