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Beliebt Trigonometrie >

6sin^2(x)-5sin(x)+1<= 0

Lösung

6 sin^{2} (x) - 5 sin (x) + 1 \leq 0

Lösung

arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{6} + 2 πn or \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

Intervall-Notation

[arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn, \frac{π}{6} + 2 πn] \cup [\frac{5 π}{6} + 2 πn, π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn]

Dezimale

0.33983 \dots + 2 πn \leq x \leq 0.52359 \dots + 2 πn or 2.61799 \dots + 2 πn \leq x \leq 2.80175 \dots + 2 πn

Schritte zur Lösung

6 sin^{2} (x) - 5 sin (x) + 1 \leq 0

Angenommen:

u = sin (x)

6 u^{2} - 5 u + 1 \leq 0

6 u^{2} - 5 u + 1 \leq 0 : \frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

6 u^{2} - 5 u + 1 \leq 0

Faktorisiere

6 u^{2} - 5 u + 1 : (3 u - 1) (2 u - 1)

6 u^{2} - 5 u + 1

Zerlege die Ausdrücke in Gruppen

6 u^{2} - 5 u + 1

Definition

Faktoren von

6 : 1, 2, 3, 6

6

Teiler (Faktoren)

Finde die Primfaktoren von

6 : 2, 3

6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 3

Addiere alle Primfaktoren.

2, 3

Addiere 1 und die Zahl

6

selbst

1, 6

Die Faktoren von

6

1, 2, 3, 6

Negative Faktoren von

6 : - 1, - 2, - 3, - 6

Multipliziere die Faktoren mit

- 1

um die negativen Faktoren zu erhalten

- 1, - 2, - 3, - 6

Für alle zwei Faktoren gilt

u * v = 6,

prüfe, ob

u + v = - 5

Prüfe

u = 1, v = 6 : u * v = 6, u + v = 7 \Rightarrow

FalschPrüfe

u = 2, v = 3 : u * v = 6, u + v = 5 \Rightarrow

Falsch

u = - 2, v = - 3

Gruppiere

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(6 u^{2} - 2 u) + (- 3 u + 1)

= (6 u^{2} - 2 u) + (- 3 u + 1)

Klammere

2 u

aus

6 u^{2} - 2 u

aus

: 2 u (3 u - 1)

6 u^{2} - 2 u

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 6 uu - 2 u

Schreibe

6

um:

2 \cdot 3

= 2 \cdot 3 uu - 2 u

Klammere gleiche Terme aus

2 u

= 2 u (3 u - 1)

Klammere

- 1

aus

- 3 u + 1

aus

: - (3 u - 1)

- 3 u + 1

Klammere gleiche Terme aus

- 1

= - (3 u - 1)

= 2 u (3 u - 1) - (3 u - 1)

Klammere gleiche Terme aus

3 u - 1

= (3 u - 1) (2 u - 1)

(3 u - 1) (2 u - 1) \leq 0

Identifiziere die Intervalle

Finde die Vorzeichen der Faktoren von

(3 u - 1) (2 u - 1)

Finde die Vorzeichen von

3 u - 1

3 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{3}

3 u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

3 u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

3 u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

3 u = 1

3 u = 1

Teile beide Seiten durch

3

3 u = 1

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}

Vereinfache

u = \frac{1}{3}

u = \frac{1}{3}

3 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{3}

3 u - 1 < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

3 u - 1 < 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

3 u - 1 + 1 < 0 + 1

Vereinfache

3 u < 1

3 u < 1

Teile beide Seiten durch

3

3 u < 1

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 u}{3} < \frac{1}{3}

Vereinfache

u < \frac{1}{3}

u < \frac{1}{3}

3 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{3}

3 u - 1 > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

3 u - 1 > 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

3 u - 1 + 1 > 0 + 1

Vereinfache

3 u > 1

3 u > 1

Teile beide Seiten durch

3

3 u > 1

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 u}{3} > \frac{1}{3}

Vereinfache

u > \frac{1}{3}

u > \frac{1}{3}

Finde die Vorzeichen von

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

2 u = 1

2 u = 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u = 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Vereinfache

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u - 1 < 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

Vereinfache

2 u < 1

2 u < 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u < 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Vereinfache

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u - 1 > 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

Vereinfache

2 u > 1

2 u > 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u > 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Vereinfache

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

Fasse in einer Tabelle zusammen:

3 u - 1 2 u - 1 (3 u - 1) (2 u - 1) u < \frac{1}{3} - - + u = \frac{1}{3} 0 - 0 \frac{1}{3} < u < \frac{1}{2} + - - u = \frac{1}{2} + 00 u > \frac{1}{2} + + +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

\leq 0

u = \frac{1}{3} or \frac{1}{3} < u < \frac{1}{2} or u = \frac{1}{2}

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

\frac{1}{3} \leq u < \frac{1}{2} or u = \frac{1}{2}

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

u = \frac{1}{3}

oder

\frac{1}{3} < u < \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u < \frac{1}{2}

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

\frac{1}{3} \leq u < \frac{1}{2}

oder

u = \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

Setze in

u = sin (x)

ein

\frac{1}{3} \leq sin (x) \leq \frac{1}{2}

Wenn

a \leq u \leq b

dann

a \leq u and u \leq b

\frac{1}{3} \leq sin (x) and sin (x) \leq \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq sin (x) : arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

\frac{1}{3} \leq sin (x)

Tausche die Seiten

sin (x) \geq \frac{1}{3}

Für

sin (x) \geq a

, wenn

- 1 < a < 1

dann

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

sin (x) \leq \frac{1}{2} : - \frac{7 π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{6} + 2 πn

sin (x) \leq \frac{1}{2}

Für

sin (x) \leq a

, wenn

- 1 < a < 1

dann

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Vereinfache

- π - arcsin (\frac{1}{2}) : - \frac{7 π}{6}

- π - arcsin (\frac{1}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - \frac{π}{6}

Vereinfache

- π - \frac{π}{6}

Wandle das Element in einen Bruch um:

π = \frac{π 6}{6}

= - \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 6 - π}{6}

Addiere gleiche Elemente:

- 6 π - π = - 7 π

= \frac{- 7 π}{6}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{7 π}{6}

= - \frac{7 π}{6}

Vereinfache

arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

- \frac{7 π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{6} + 2 πn

Kombiniere die Bereiche

arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn and - \frac{7 π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{6} + 2 πn

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{6} + 2 πn or \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

Beliebte Beispiele

2sin(2x)+(1/2)>= 0

2 sin (2 x) + (\frac{1}{2}) \geq 0

2cos(2x)-1>= 0

2 cos (2 x) - 1 \geq 0

-cos(x)>=-sin(2x)

- cos (x) \geq - sin (2 x)

tan(x)>7

tan (x) > 7

cos(x)<-1/2 ,0<= x<= 2pi

cos (x) < - \frac{1}{2}, 0 \leq x \leq 2 π