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Beliebt Trigonometrie >

-cos(x)<=-sin(2x)

Lösung

- cos (x) \leq - sin (2 x)

Lösung

2 πn \leq x \leq \frac{π}{6} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn \leq x \leq 2 π + 2 πn

Intervall-Notation

[2 πn, \frac{π}{6} + 2 πn] \cup [\frac{π}{2} + 2 πn, \frac{5 π}{6} + 2 πn] \cup [\frac{3 π}{2} + 2 πn, 2 π + 2 πn]

Dezimale

2 πn \leq x \leq 0.52359 \dots + 2 πn or 1.57079 \dots + 2 πn \leq x \leq 2.61799 \dots + 2 πn or 4.71238 \dots + 2 πn \leq x \leq 6.28318 \dots + 2 πn

Schritte zur Lösung

- cos (x) \leq - sin (2 x)

Multipliziere beide Seiten mit

- 1

(drehe die Ungleichung um)

(- cos (x)) (- 1) \geq (- sin (2 x)) (- 1)

Vereinfache

cos (x) \geq sin (2 x)

Verschiebe

sin (2 x)

auf die linke Seite

cos (x) \geq sin (2 x)

Subtrahiere

sin (2 x)

von beiden Seiten

cos (x) - sin (2 x) \geq sin (2 x) - sin (2 x)

cos (x) - sin (2 x) \geq 0

cos (x) - sin (2 x) \geq 0

Verwende die folgenden Identitäten:

sin (2 x) = 2 cos (x) sin (x)

cos (x) - 2 cos (x) sin (x) \geq 0

Periodizität von

cos (x) - 2 cos (x) sin (x) : 2 π

Die zusammengesetzte Periodizität der Summe der periodischen Funktionen ist der kleinste gemeinsame Multiplikator der Perioden

cos (x), 2 cos (x) sin (x)

Periodizität von

cos (x) : 2 π

Die Periodizität von

cos (x)

ist

2 π

= 2 π

Periodizität von

2 cos (x) sin (x) : π

2 cos (x) sin (x)

besteht aus den folgenden Funktionen und Perioden:

cos (x)

mit Periodizität von

2 π

Die zusammengesetzte Periodizität ist:

π

Kombiniere Perioden:

2 π, π

= 2 π

Faktorisiere

cos (x) - 2 cos (x) sin (x) : - cos (x) (2 sin (x) - 1)

cos (x) - 2 cos (x) sin (x)

Klammere gleiche Terme aus

- cos (x)

= - cos (x) (- 1 + 2 sin (x))

- cos (x) (2 sin (x) - 1) \geq 0

Um die Nullstellen zu finden, setze die Ungleichung auf Null

- cos (x) (2 sin (x) - 1) = 0

Stelle

- cos (x) (2 sin (x) - 1) = 0

nach

0 \leq x < 2 π

- cos (x) (2 sin (x) - 1) = 0

Löse jeden Teil einzeln

cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} or x = \frac{3 π}{2}

cos (x) = 0, 0 \leq x < 2 π

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq x < 2 π

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

2 sin (x) - 1 = 0 : x = \frac{π}{6} or x = \frac{5 π}{6}

2 sin (x) - 1 = 0, 0 \leq x < 2 π

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 sin (x) - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 sin (x) - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

2 sin (x) = 1

2 sin (x) = 1

Teile beide Seiten durch

2

2 sin (x) = 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 sin ( x )}{2} = \frac{1}{2}

Vereinfache

sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq x < 2 π

x = \frac{π}{6}, x = \frac{5 π}{6}

Kombiniere alle Lösungen

\frac{π}{6} or \frac{π}{2} or \frac{5 π}{6} or \frac{3 π}{2}

Die Intervalle zwischen den Nullstellen

0 < x < \frac{π}{6}, \frac{π}{6} < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{6}, \frac{5 π}{6} < x < \frac{3 π}{2}, \frac{3 π}{2} < x < 2 π

Fasse in einer Tabelle zusammen:

cos (x) 2 sin (x) - 1 - cos (x) (2 sin (x) - 1) x = 0 + - + 0 < x < \frac{π}{6} + - + x = \frac{π}{6} + 00 \frac{π}{6} < x < \frac{π}{2} + + - x = \frac{π}{2} 0 + 0 \frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{6} - + + x = \frac{5 π}{6} - 00 \frac{5 π}{6} < x < \frac{3 π}{2} - - - x = \frac{3 π}{2} 0 - 0 \frac{3 π}{2} < x < 2 π + - + x = 2 π + - +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

\geq 0

x = 0 or 0 < x < \frac{π}{6} or x = \frac{π}{6} or x = \frac{π}{2} or \frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{6} or x = \frac{5 π}{6} or x = \frac{3 π}{2} or \frac{3 π}{2} < x < 2 π or x = 2 π

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

0 \leq x \leq \frac{π}{6} or \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{5 π}{6} or \frac{3 π}{2} \leq x < 2 π or x = 2 π