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Beliebt Trigonometrie >

sqrt(3)cos(4x)+sin(4x)>sqrt(2)

Lösung

3 cos (4 x) + sin (4 x) > 2

Lösung

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

Schritte zur Lösung

3 cos (4 x) + sin (4 x) > 2

Angenommen:

u = 4 x

3 cos (u) + sin (u) > 2

3 cos (u) + sin (u) > 2 : - \frac{π}{12} + 2 πn < u < \frac{5 π}{12} + 2 πn

3 cos (u) + sin (u) > 2

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Teile beide Seiten durch

2

\frac{3 cos ( u ) + sin ( u )}{2} > \frac{2}{2}

Multipliziere aus

\frac{3 cos ( u ) + sin ( u )}{2} : \frac{3}{2} cos (u) + \frac{1}{2} sin (u)

\frac{3 cos ( u ) + sin ( u )}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{3 cos ( u ) + sin ( u )}{2} = \frac{3 cos ( u )}{2} + \frac{sin ( u )}{2}

= \frac{3 cos ( u )}{2} + \frac{sin ( u )}{2}

= \frac{3}{2} cos (u) + \frac{1}{2} sin (u)

\frac{3}{2} cos (u) + \frac{1}{2} sin (u) > \frac{2}{2}

\frac{3}{2} = sin (\frac{π}{3})

sin (\frac{π}{3}) cos (u) + \frac{1}{2} sin (u) > \frac{2}{2}

\frac{1}{2} = cos (\frac{π}{3})

sin (\frac{π}{3}) cos (u) + cos (\frac{π}{3}) sin (u) > \frac{2}{2}

Verwende die folgenden Identitäten:

cos (s) sin (t) + cos (t) sin (s) = sin (s + t)

sin (\frac{π}{3} + u) > \frac{2}{2}

sin (\frac{π}{3} + u) > \frac{2}{2}

Für

sin (x) > a

, wenn

- 1 \leq a < 1

dann

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn < (\frac{π}{3} + u) < π - arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn

Wenn

a < u < b

dann

a < u and u < b

arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn < \frac{π}{3} + u and \frac{π}{3} + u < π - arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn

arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn < \frac{π}{3} + u : u > 2 πn - \frac{π}{12}

arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn < \frac{π}{3} + u

Tausche die Seiten

\frac{π}{3} + u > arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn

Vereinfache

arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn : \frac{π}{4} + 2 πn

arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{4} + 2 πn

\frac{π}{3} + u > \frac{π}{4} + 2 πn

Verschiebe

\frac{π}{3}

auf die rechte Seite

\frac{π}{3} + u > \frac{π}{4} + 2 πn

Subtrahiere

\frac{π}{3}

von beiden Seiten

\frac{π}{3} + u - \frac{π}{3} > \frac{π}{4} + 2 πn - \frac{π}{3}

Vereinfache

\frac{π}{3} + u - \frac{π}{3} > \frac{π}{4} + 2 πn - \frac{π}{3}

Vereinfache

\frac{π}{3} + u - \frac{π}{3} : u

\frac{π}{3} + u - \frac{π}{3}

Addiere gleiche Elemente:

\frac{π}{3} - \frac{π}{3} > 0

= u

Vereinfache

\frac{π}{4} + 2 πn - \frac{π}{3} : 2 πn - \frac{π}{12}

\frac{π}{4} + 2 πn - \frac{π}{3}

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 πn + \frac{π}{4} - \frac{π}{3}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

4, 3 : 12

4, 3

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

4 : 2 \cdot 2

4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2

Primfaktorzerlegung von

3 : 3

3

3

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 3

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

4

oder

3

vorkommt

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

12

Für

\frac{π}{4} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

3

\frac{π}{4} = \frac{π 3}{4 \cdot 3} = \frac{π 3}{12}

Für

\frac{π}{3} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

4

\frac{π}{3} = \frac{π 4}{3 \cdot 4} = \frac{π 4}{12}

= \frac{π 3}{12} - \frac{π 4}{12}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 3 - π 4}{12}

Addiere gleiche Elemente:

3 π - 4 π = - π

= \frac{- π}{12}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= 2 πn - \frac{π}{12}

u > 2 πn - \frac{π}{12}

u > 2 πn - \frac{π}{12}

u > 2 πn - \frac{π}{12}

\frac{π}{3} + u < π - arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn : u < \frac{5 π}{12} + 2 πn

\frac{π}{3} + u < π - arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn

Vereinfache

π - arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn : π - \frac{π}{4} + 2 πn

π - arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{4} + 2 πn

\frac{π}{3} + u < π - \frac{π}{4} + 2 πn

Verschiebe

\frac{π}{3}

auf die rechte Seite

\frac{π}{3} + u < π - \frac{π}{4} + 2 πn

Subtrahiere

\frac{π}{3}

von beiden Seiten

\frac{π}{3} + u - \frac{π}{3} < π - \frac{π}{4} + 2 πn - \frac{π}{3}

Vereinfache

\frac{π}{3} + u - \frac{π}{3} < π - \frac{π}{4} + 2 πn - \frac{π}{3}

Vereinfache

\frac{π}{3} + u - \frac{π}{3} : u

\frac{π}{3} + u - \frac{π}{3}

Addiere gleiche Elemente:

\frac{π}{3} - \frac{π}{3} < 0

= u

Vereinfache

π - \frac{π}{4} + 2 πn - \frac{π}{3} : π + 2 πn - \frac{7 π}{12}

π - \frac{π}{4} + 2 πn - \frac{π}{3}

Fasse gleiche Terme zusammen

= π + 2 πn - \frac{π}{4} - \frac{π}{3}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

4, 3 : 12

4, 3

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

4 : 2 \cdot 2

4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2

Primfaktorzerlegung von

3 : 3

3

3

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 3

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

4

oder

3

vorkommt

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

12

Für

\frac{π}{4} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

3

\frac{π}{4} = \frac{π 3}{4 \cdot 3} = \frac{π 3}{12}

Für

\frac{π}{3} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

4

\frac{π}{3} = \frac{π 4}{3 \cdot 4} = \frac{π 4}{12}

= - \frac{π 3}{12} - \frac{π 4}{12}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 3 - π 4}{12}

Addiere gleiche Elemente:

- 3 π - 4 π = - 7 π

= \frac{- 7 π}{12}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= π + 2 πn - \frac{7 π}{12}

u < π + 2 πn - \frac{7 π}{12}

u < π + 2 πn - \frac{7 π}{12}

u < π + 2 πn - \frac{7 π}{12}

Vereinfache

π - \frac{7 π}{12} : \frac{5 π}{12}

π - \frac{7 π}{12}

Wandle das Element in einen Bruch um:

π = \frac{π 12}{12}

= \frac{π 12}{12} - \frac{7 π}{12}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 12 - 7 π}{12}

Addiere gleiche Elemente:

12 π - 7 π = 5 π

= \frac{5 π}{12}

u < \frac{5 π}{12} + 2 πn

Kombiniere die Bereiche

u > 2 πn - \frac{π}{12} and u < \frac{5 π}{12} + 2 πn

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

- \frac{π}{12} + 2 πn < u < \frac{5 π}{12} + 2 πn

- \frac{π}{12} + 2 πn < u < \frac{5 π}{12} + 2 πn

Setze in

4 x = u

ein

- \frac{π}{12} + 2 πn < 4 x < \frac{5 π}{12} + 2 πn

- \frac{π}{12} + 2 πn < 4 x < \frac{5 π}{12} + 2 πn :

Falsch für alle

x \in R

- \frac{π}{12} + 2 πn < 4 x < \frac{5 π}{12} + 2 πn

Wenn

a < u < b

dann

a < u and u < b

- \frac{π}{12} + 2 πn < 4 x and 4 x < \frac{5 π}{12} + 2 πn

- \frac{π}{12} + 2 πn < 4 x : x > - \frac{π}{48} + \frac{πn}{2}

- \frac{π}{12} + 2 πn < 4 x

Tausche die Seiten

4 x > - \frac{π}{12} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

4

4 x > - \frac{π}{12} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

4

\frac{4 x}{4} > - \frac{\frac{π}{12}}{4} + \frac{2 πn}{4}

Vereinfache

\frac{4 x}{4} > - \frac{\frac{π}{12}}{4} + \frac{2 πn}{4}

Vereinfache

\frac{4 x}{4} : x

\frac{4 x}{4}

Teile die Zahlen:

\frac{4}{4} = 1

= x

Vereinfache

- \frac{\frac{π}{12}}{4} + \frac{2 πn}{4} : - \frac{π}{48} + \frac{πn}{2}

- \frac{\frac{π}{12}}{4} + \frac{2 πn}{4}

\frac{\frac{π}{12}}{4} = \frac{π}{48}

\frac{\frac{π}{12}}{4}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{12 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

12 \cdot 4 = 48

= \frac{π}{48}

\frac{2 πn}{4} = \frac{πn}{2}

\frac{2 πn}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{πn}{2}

= - \frac{π}{48} + \frac{πn}{2}

x > - \frac{π}{48} + \frac{πn}{2}

x > - \frac{π}{48} + \frac{πn}{2}

x > - \frac{π}{48} + \frac{πn}{2}

4 x < \frac{5 π}{12} + 2 πn : x < \frac{5 π}{48} + \frac{πn}{2}

4 x < \frac{5 π}{12} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

4

4 x < \frac{5 π}{12} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

4

\frac{4 x}{4} < \frac{\frac{5 π}{12}}{4} + \frac{2 πn}{4}

Vereinfache

\frac{4 x}{4} < \frac{\frac{5 π}{12}}{4} + \frac{2 πn}{4}

Vereinfache

\frac{4 x}{4} : x

\frac{4 x}{4}

Teile die Zahlen:

\frac{4}{4} = 1

= x

Vereinfache

\frac{\frac{5 π}{12}}{4} + \frac{2 πn}{4} : \frac{5 π}{48} + \frac{πn}{2}

\frac{\frac{5 π}{12}}{4} + \frac{2 πn}{4}

\frac{\frac{5 π}{12}}{4} = \frac{5 π}{48}

\frac{\frac{5 π}{12}}{4}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 π}{12 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

12 \cdot 4 = 48

= \frac{5 π}{48}

\frac{2 πn}{4} = \frac{πn}{2}

\frac{2 πn}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{πn}{2}

= \frac{5 π}{48} + \frac{πn}{2}

x < \frac{5 π}{48} + \frac{πn}{2}

x < \frac{5 π}{48} + \frac{πn}{2}

x < \frac{5 π}{48} + \frac{πn}{2}

Kombiniere die Bereiche

x > - \frac{π}{48} + \frac{π}{2} n and x < \frac{5 π}{48} + \frac{π}{2} n

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

Beliebte Beispiele

sin(5x)>5,0<= x<= 2pi

sin (5 x) > 5, 0 \leq x \leq 2 π

-cos(x)<=-sin(2x)

- cos (x) \leq - sin (2 x)

cos(y)>-1

cos (y) > - 1

2cos(x)+cos^2(x)>0

2 cos (x) + cos^{2} (x) > 0

tan(x)>-2/3

tan (x) > - \frac{2}{3}