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Beliebt Trigonometrie >

2cos(3x-1/2)>= sqrt(2)

Lösung

2 cos (3 x - \frac{1}{2}) \geq 2

Lösung

\frac{- π + 2}{12} + \frac{2 π}{3} n \leq x \leq \frac{π + 2}{12} + \frac{2 π}{3} n

Intervall-Notation

[\frac{- π + 2}{12} + \frac{2 π}{3} n, \frac{π + 2}{12} + \frac{2 π}{3} n]

Dezimale

- 0.09513 \dots + \frac{2 π}{3} n \leq x \leq 0.42846 \dots + \frac{2 π}{3} n

Schritte zur Lösung

2 cos (3 x - \frac{1}{2}) \geq 2

Teile beide Seiten durch

2

2 cos (3 x - \frac{1}{2}) \geq 2

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 cos ( 3 x - \frac{1}{2} )}{2} \geq \frac{2}{2}

Vereinfache

cos (3 x - \frac{1}{2}) \geq \frac{2}{2}

cos (3 x - \frac{1}{2}) \geq \frac{2}{2}

Für

cos (x) \geq a

, wenn

- 1 < a < 1

dann

- arccos (a) + 2 πn \leq x \leq arccos (a) + 2 πn

- arccos (\frac{2}{2}) + 2 πn \leq (3 x - \frac{1}{2}) \leq arccos (\frac{2}{2}) + 2 πn

Wenn

a \leq u \leq b

dann

a \leq u and u \leq b

- arccos (\frac{2}{2}) + 2 πn \leq 3 x - \frac{1}{2} and 3 x - \frac{1}{2} \leq arccos (\frac{2}{2}) + 2 πn

- arccos (\frac{2}{2}) + 2 πn \leq 3 x - \frac{1}{2} : x \geq \frac{- π + 2}{12} + \frac{2 π}{3} n

- arccos (\frac{2}{2}) + 2 πn \leq 3 x - \frac{1}{2}

Tausche die Seiten

3 x - \frac{1}{2} \geq - arccos (\frac{2}{2}) + 2 πn

Vereinfache

- arccos (\frac{2}{2}) + 2 πn : - \frac{π}{4} + 2 πn

- arccos (\frac{2}{2}) + 2 πn

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{π}{4} + 2 πn

3 x - \frac{1}{2} \geq - \frac{π}{4} + 2 πn

Verschiebe

\frac{1}{2}

auf die rechte Seite

3 x - \frac{1}{2} \geq - \frac{π}{4} + 2 πn

Füge

\frac{1}{2}

zu beiden Seiten hinzu

3 x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \geq - \frac{π}{4} + 2 πn + \frac{1}{2}

Vereinfache

3 x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \geq - \frac{π}{4} + 2 πn + \frac{1}{2}

Vereinfache

3 x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} : 3 x

3 x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}

Addiere gleiche Elemente:

- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \geq 0

= 3 x

Vereinfache

- \frac{π}{4} + 2 πn + \frac{1}{2} : 2 πn - \frac{π}{4} + \frac{1}{2}

- \frac{π}{4} + 2 πn + \frac{1}{2}

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 πn - \frac{π}{4} + \frac{1}{2}

Konnte nicht weiter vereinfacht werden

= 2 πn - \frac{π}{4} + \frac{1}{2}

3 x \geq 2 πn - \frac{π}{4} + \frac{1}{2}

3 x \geq 2 πn - \frac{π}{4} + \frac{1}{2}

3 x \geq 2 πn - \frac{π}{4} + \frac{1}{2}

Teile beide Seiten durch

3

3 x \geq 2 πn - \frac{π}{4} + \frac{1}{2}

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 x}{3} \geq \frac{2 πn}{3} - \frac{\frac{π}{4}}{3} + \frac{\frac{1}{2}}{3}

Vereinfache

\frac{3 x}{3} \geq \frac{2 πn}{3} - \frac{\frac{π}{4}}{3} + \frac{\frac{1}{2}}{3}

Vereinfache

\frac{3 x}{3} : x

\frac{3 x}{3}

Teile die Zahlen:

\frac{3}{3} = 1

= x

Vereinfache

\frac{2 πn}{3} - \frac{\frac{π}{4}}{3} + \frac{\frac{1}{2}}{3} : \frac{2 πn}{3} - \frac{π}{12} + \frac{1}{6}

\frac{2 πn}{3} - \frac{\frac{π}{4}}{3} + \frac{\frac{1}{2}}{3}

\frac{\frac{π}{4}}{3} = \frac{π}{12}

\frac{\frac{π}{4}}{3}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{4 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 3 = 12

= \frac{π}{12}

\frac{\frac{1}{2}}{3} = \frac{1}{6}

\frac{\frac{1}{2}}{3}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{1}{2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{1}{6}

= \frac{2 πn}{3} - \frac{π}{12} + \frac{1}{6}

x \geq \frac{2 πn}{3} - \frac{π}{12} + \frac{1}{6}

x \geq \frac{2 πn}{3} - \frac{π}{12} + \frac{1}{6}

Vereinfache

- \frac{π}{12} + \frac{1}{6} : \frac{- π + 2}{12}

- \frac{π}{12} + \frac{1}{6}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

12, 6 : 12

12, 6

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

12 : 2 \cdot 2 \cdot 3

12

12

ist durch

212 = 6 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Primfaktorzerlegung von

6 : 2 \cdot 3

6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 3

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

12

oder

6

vorkommt

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

12

Für

\frac{1}{6} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

2

\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{2}{12}

= - \frac{π}{12} + \frac{2}{12}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π + 2}{12}

x \geq \frac{- π + 2}{12} + \frac{2 π}{3} n

x \geq \frac{- π + 2}{12} + \frac{2 π}{3} n

3 x - \frac{1}{2} \leq arccos (\frac{2}{2}) + 2 πn : x \leq \frac{π + 2}{12} + \frac{2 π}{3} n

3 x - \frac{1}{2} \leq arccos (\frac{2}{2}) + 2 πn

Vereinfache

arccos (\frac{2}{2}) + 2 πn : \frac{π}{4} + 2 πn

arccos (\frac{2}{2}) + 2 πn

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{4} + 2 πn

3 x - \frac{1}{2} \leq \frac{π}{4} + 2 πn

Verschiebe

\frac{1}{2}

auf die rechte Seite

3 x - \frac{1}{2} \leq \frac{π}{4} + 2 πn

Füge

\frac{1}{2}

zu beiden Seiten hinzu

3 x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \leq \frac{π}{4} + 2 πn + \frac{1}{2}

Vereinfache

3 x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \leq \frac{π}{4} + 2 πn + \frac{1}{2}

Vereinfache

3 x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} : 3 x

3 x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}

Addiere gleiche Elemente:

- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \leq 0

= 3 x

Vereinfache

\frac{π}{4} + 2 πn + \frac{1}{2} : 2 πn + \frac{π}{4} + \frac{1}{2}

\frac{π}{4} + 2 πn + \frac{1}{2}

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 πn + \frac{π}{4} + \frac{1}{2}

Konnte nicht weiter vereinfacht werden

= 2 πn + \frac{π}{4} + \frac{1}{2}

3 x \leq 2 πn + \frac{π}{4} + \frac{1}{2}

3 x \leq 2 πn + \frac{π}{4} + \frac{1}{2}

3 x \leq 2 πn + \frac{π}{4} + \frac{1}{2}

Teile beide Seiten durch

3

3 x \leq 2 πn + \frac{π}{4} + \frac{1}{2}

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 x}{3} \leq \frac{2 πn}{3} + \frac{\frac{π}{4}}{3} + \frac{\frac{1}{2}}{3}

Vereinfache

\frac{3 x}{3} \leq \frac{2 πn}{3} + \frac{\frac{π}{4}}{3} + \frac{\frac{1}{2}}{3}

Vereinfache

\frac{3 x}{3} : x

\frac{3 x}{3}

Teile die Zahlen:

\frac{3}{3} = 1

= x

Vereinfache

\frac{2 πn}{3} + \frac{\frac{π}{4}}{3} + \frac{\frac{1}{2}}{3} : \frac{2 πn}{3} + \frac{π}{12} + \frac{1}{6}

\frac{2 πn}{3} + \frac{\frac{π}{4}}{3} + \frac{\frac{1}{2}}{3}

\frac{\frac{π}{4}}{3} = \frac{π}{12}

\frac{\frac{π}{4}}{3}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{4 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 3 = 12

= \frac{π}{12}

\frac{\frac{1}{2}}{3} = \frac{1}{6}

\frac{\frac{1}{2}}{3}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{1}{2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{1}{6}

= \frac{2 πn}{3} + \frac{π}{12} + \frac{1}{6}

x \leq \frac{2 πn}{3} + \frac{π}{12} + \frac{1}{6}

x \leq \frac{2 πn}{3} + \frac{π}{12} + \frac{1}{6}

Vereinfache

\frac{π}{12} + \frac{1}{6} : \frac{π + 2}{12}

\frac{π}{12} + \frac{1}{6}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

12, 6 : 12

12, 6

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

12 : 2 \cdot 2 \cdot 3

12

12

ist durch

212 = 6 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Primfaktorzerlegung von

6 : 2 \cdot 3

6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 3

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

12

oder

6

vorkommt

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

12

Für

\frac{1}{6} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

2

\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{2}{12}

= \frac{π}{12} + \frac{2}{12}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π + 2}{12}

x \leq \frac{π + 2}{12} + \frac{2 π}{3} n

x \leq \frac{π + 2}{12} + \frac{2 π}{3} n

Kombiniere die Bereiche

x \geq \frac{- π + 2}{12} + \frac{2 π}{3} n and x \leq \frac{π + 2}{12} + \frac{2 π}{3} n

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

\frac{- π + 2}{12} + \frac{2 π}{3} n \leq x \leq \frac{π + 2}{12} + \frac{2 π}{3} n

Beliebte Beispiele

sin(θ)>0,tan(θ)<0

sin (θ) > 0, tan (θ) < 0

sin(2x)>(sqrt(2))/2

sin (2 x) > \frac{2}{2}

2sin(x)>1

2 sin (x) > 1

((2cos(x)+1))/(2sin(x)-sqrt(3))>0[0.2pi]

\frac{( 2 cos ( x ) + 1 )}{2 sin ( x ) - 3} > 0 [0.2 π]

0.5sin(2t)+1.2>1.45

0.5 sin (2 t) + 1.2 > 1.45