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Beliebt Trigonometrie >

beweisen (1+tan^2(θ))/(tan(θ))=sec(θ)csc(θ)

Lösung

beweisen

\frac{1 + tan ^{2} ( θ )}{tan ( θ )} = sec (θ) csc (θ)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{1 + tan ^{2} ( θ )}{tan ( θ )} = sec (θ) csc (θ)

Manipuliere die linke Seite

\frac{1 + tan ^{2} ( θ )}{tan ( θ )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1 + tan ^{2} ( θ )}{tan ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 + ( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{\frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}

Vereinfache

\frac{1 + ( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{\frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}} : \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

\frac{1 + ( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{\frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( 1 + ( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2} ) cos ( θ )}{sin ( θ )}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{cos ( θ ) ( \frac{s i n ^{2} ( θ )}{c o s ^{2} ( θ )} + 1 )}{sin ( θ )}

Füge

1 + \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

zusammen:

\frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

1 + \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} + \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (θ) = cos^{2} (θ)

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{\frac{c o s ^{2} ( θ ) + s i n ^{2} ( θ )}{c o s ^{2} ( θ )} cos ( θ )}{sin ( θ )}

Multipliziere

\frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} cos (θ) : \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

\frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} cos (θ)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ ) ) cos ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (θ)

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{\frac{c o s ^{2} ( θ ) + s i n ^{2} ( θ )}{c o s ( θ )}}{sin ( θ )}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1}{cos ( θ ) sin ( θ )}

= \frac{1}{cos ( θ ) sin ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{1}{cos ( θ ) \frac{1}{c s c ( θ )}}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( θ )} \cdot \frac{1}{c s c ( θ )}}

Vereinfache

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( θ )} \cdot \frac{1}{c s c ( θ )}}

Multipliziere

\frac{1}{sec ( θ )} \cdot \frac{1}{csc ( θ )} : \frac{1}{sec ( θ ) csc ( θ )}

\frac{1}{sec ( θ )} \cdot \frac{1}{csc ( θ )}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 1}{sec ( θ ) csc ( θ )}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 1 = 1

= \frac{1}{sec ( θ ) csc ( θ )}

= \frac{1}{\frac{1}{s e c ( θ ) c s c ( θ )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ( θ ) csc ( θ )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= sec (θ) csc (θ)

sec (θ) csc (θ)

sec (θ) csc (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen sin(4a)=2sin(2a)cos(2a)

p ro v e sin (4 a) = 2 sin (2 a) cos (2 a)

beweisen sin(2D)=2cot(D)sin^2(D)

p ro v e sin (2 D) = 2 cot (D) sin^{2} (D)

beweisen csc(x)*tan(x)+sec(x)=2sec(x)

p ro v e csc (x) \cdot tan (x) + sec (x) = 2 sec (x)

beweisen (cos(x)+sin(x))^2=1+2cos(x)sin(x)

p ro v e (cos (x) + sin (x))^{2} = 1 + 2 cos (x) sin (x)

beweisen cos(2x)=cos(-2x)

p ro v e cos (2 x) = cos (- 2 x)