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beweisen sin(θ)=cos(pi/2-θ)

Lösung

beweisen

sin (θ) = cos (\frac{π}{2} - θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

sin (θ) = cos (\frac{π}{2} - θ)

Manipuliere die rechte Seite

cos (\frac{π}{2} - θ)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (\frac{π}{2} - θ)

Benutze die Winkel-Differenz-Identität:

cos (s - t) = cos (s) cos (t) + sin (s) sin (t)

= cos (\frac{π}{2}) cos (θ) + sin (\frac{π}{2}) sin (θ)

Vereinfache

cos (\frac{π}{2}) cos (θ) + sin (\frac{π}{2}) sin (θ) : sin (θ)

cos (\frac{π}{2}) cos (θ) + sin (\frac{π}{2}) sin (θ)

cos (\frac{π}{2}) cos (θ) = 0

cos (\frac{π}{2}) cos (θ)

Vereinfache

cos (\frac{π}{2}) : 0

cos (\frac{π}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (\frac{π}{2}) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 0

= 0 \cdot cos (θ)

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

sin (\frac{π}{2}) sin (θ) = sin (θ)

sin (\frac{π}{2}) sin (θ)

Vereinfache

sin (\frac{π}{2}) : 1

sin (\frac{π}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (\frac{π}{2}) = 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

= 1

= 1 \cdot sin (θ)

Multipliziere:

1 \cdot sin (θ) = sin (θ)

= sin (θ)

= 0 + sin (θ)

0 + sin (θ) = sin (θ)

= sin (θ)

= sin (θ)

= sin (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e cot (θ) = \frac{1 + cos ( 2 θ )}{sin ( 2 θ )}

p ro v e \frac{( sin ( x ) )}{( 1 - cos ( x ) )} - \frac{( 1 )}{( sin ( x ) )} = cot (x)

p ro v e sin (0) sec (0) = tan (0)

p ro v e cos (2 a) = \frac{cot ( a ) - tan ( a )}{csc ( a ) sec ( a )}

p ro v e cos (a) cos (b) = \frac{1}{2} (cos (a - b) + cos (a + b))