English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

beweisen (csc(x))/(1+cot^2(x))=sin(x)

Lösung

beweisen

\frac{csc ( x )}{1 + cot ^{2} ( x )} = sin (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{csc ( x )}{1 + cot ^{2} ( x )} = sin (x)

Manipuliere die linke Seite

\frac{csc ( x )}{1 + cot ^{2} ( x )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{csc ( x )}{1 + cot ^{2} ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{\frac{1}{s i n ( x )}}{1 + cot ^{2} ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{\frac{1}{s i n ( x )}}{1 + ( \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{\frac{1}{s i n ( x )}}{1 + ( \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ) ^{2}} : \frac{sin ( x )}{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}

\frac{\frac{1}{s i n ( x )}}{1 + ( \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ) ^{2}}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{1}{sin ( x ) ( 1 + ( \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ) ^{2} )}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1}{sin ( x ) ( \frac{c o s ^{2} ( x )}{s i n ^{2} ( x )} + 1 )}

Füge

1 + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

zusammen:

\frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

1 + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot sin^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1}{\frac{s i n ^{2} ( x ) + c o s ^{2} ( x )}{s i n ^{2} ( x )} sin ( x )}

Multipliziere

sin (x) \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} : \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

sin (x) \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x ) ) sin ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (x)

= \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1}{\frac{s i n ^{2} ( x ) + c o s ^{2} ( x )}{s i n ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sin ( x )}{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}

= \frac{sin ( x )}{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}

= \frac{sin ( x )}{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{sin ( x )}{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{sin ( x )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= sin (x)

= sin (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e csc (\frac{π}{2} - x) cot (x) = csc (x)

p ro v e sec (\frac{3 π}{2} - x) = - csc (x)

p ro v e cos (x) + sin (x) tan (x) = \frac{1}{cos ( x )}

p ro v e cos (2 θ) = \frac{csc ^{2} ( θ ) - 2}{csc ^{2} ( θ )}

p ro v e sin (x) = - sin (- x)