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人気のある三角関数 >

証明する cos(2θ)=(csc^2(θ)-2)/(csc^2(θ))

解

証明する

cos (2 θ) = \frac{csc ^{2} ( θ ) - 2}{csc ^{2} ( θ )}

解

真

解答ステップ

cos (2 θ) = \frac{csc ^{2} ( θ ) - 2}{csc ^{2} ( θ )}

右側を操作する

\frac{csc ^{2} ( θ ) - 2}{csc ^{2} ( θ )}

サイン, コサインで表わす

\frac{- 2 + csc ^{2} ( θ )}{csc ^{2} ( θ )}

基本的な三角関数の公式を使用する:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{- 2 + ( \frac{1}{s i n ( θ )} ) ^{2}}{( \frac{1}{s i n ( θ )} ) ^{2}}

簡素化

\frac{- 2 + ( \frac{1}{s i n ( θ )} ) ^{2}}{( \frac{1}{s i n ( θ )} ) ^{2}} : - 2 sin^{2} (θ) + 1

\frac{- 2 + ( \frac{1}{s i n ( θ )} ) ^{2}}{( \frac{1}{s i n ( θ )} ) ^{2}}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2}

指数の規則を適用する:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( θ )}

規則を適用

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{- 2 + ( \frac{1}{s i n ( θ )} ) ^{2}}{\frac{1}{s i n ^{2} ( θ )}}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2}

指数の規則を適用する:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( θ )}

規則を適用

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{- 2 + \frac{1}{s i n ^{2} ( θ )}}{\frac{1}{s i n ^{2} ( θ )}}

分数の規則を適用する:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( - 2 + \frac{1}{s i n ^{2} ( θ )} ) sin ^{2} ( θ )}{1}

結合

- 2 + \frac{1}{sin ^{2} ( θ )} : \frac{- 2 sin ^{2} ( θ ) + 1}{sin ^{2} ( θ )}

- 2 + \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

元を分数に変換する:

2 = \frac{2 sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= - \frac{2 sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} + \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 2 sin ^{2} ( θ ) + 1}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{\frac{- 2 s i n ^{2} ( θ ) + 1}{s i n ^{2} ( θ )} sin ^{2} ( θ )}{1}

分数の規則を適用する:

\frac{a}{1} = a

= \frac{- 2 sin ^{2} ( θ ) + 1}{sin ^{2} ( θ )} sin^{2} (θ)

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( - 2 sin ^{2} ( θ ) + 1 ) sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

共通因数を約分する:

sin^{2} (θ)

= - - 2 sin^{2} (θ) + 1

= - 2 sin^{2} (θ) + 1

= 1 - 2 sin^{2} (θ)

三角関数の公式を使用して書き換える

1 - 2 sin^{2} (θ)

2倍角の公式を使用:

1 - 2 sin^{2} (x) = cos (2 x)

= cos (2 θ)

= cos (2 θ)

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真

人気の例

証明する sin(x)=-sin(-x)

p ro v e sin (x) = - sin (- x)

証明する tan(x)+cot(x)=(csc(x))/(cos(x))

p ro v e tan (x) + cot (x) = \frac{csc ( x )}{cos ( x )}

証明する sec(θ)-tan(θ)sin(θ)=cos(θ)

p ro v e sec (θ) - tan (θ) sin (θ) = cos (θ)

証明する 4-8sin^2(x)=4cos(2x)

p ro v e 4 - 8 sin^{2} (x) = 4 cos (2 x)

証明する 4cos^3(θ)-3cos(θ)=cos(3θ)

p ro v e 4 cos^{3} (θ) - 3 cos (θ) = cos (3 θ)