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beweisen 1+1/(tan^2(θ))= 1/(sin^2(θ))

Lösung

beweisen

1 + \frac{1}{tan ^{2} ( θ )} = \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

Wahr

Schritte zur Lösung

1 + \frac{1}{tan ^{2} ( θ )} = \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

Manipuliere die linke Seite

1 + \frac{1}{tan ^{2} ( θ )}

Drücke mit sin, cos aus

1 + \frac{1}{tan ^{2} ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= 1 + \frac{1}{( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}

Vereinfache

1 + \frac{1}{( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}} : \frac{sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

1 + \frac{1}{( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}

\frac{1}{( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}} = \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

\frac{1}{( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}

(\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2} = \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{\frac{s i n ^{2} ( θ )}{c o s ^{2} ( θ )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= 1 + \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} + \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Multipliziere:

1 \cdot sin^{2} (θ) = sin^{2} (θ)

= \frac{sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sin^{2} (x) \cdot (1 + cot^{2} (x)) = 1

p ro v e cos (x + 1) = cos (- x - 1)

p ro v e cot^{2} (x) + 1 = \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

p ro v e \frac{sin ( 2 A )}{1 - cos ( 2 A )} = cot (A)

p ro v e sin (6 x) = 2 sin (3 x) cos (3 x)