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beweisen sin(t)csc(pi/2-t)=tan(t)

Lösung

beweisen

sin (t) csc (\frac{π}{2} - t) = tan (t)

Wahr

Schritte zur Lösung

sin (t) csc (\frac{π}{2} - t) = tan (t)

Manipuliere die linke Seite

sin (t) csc (\frac{π}{2} - t)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

csc (\frac{π}{2} - t)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( \frac{π}{2} - t )}

Benutze die Winkel-Differenz-Identität:

sin (s - t) = sin (s) cos (t) - cos (s) sin (t)

= \frac{1}{sin ( \frac{π}{2} ) cos ( t ) - cos ( \frac{π}{2} ) sin ( t )}

Vereinfache

\frac{1}{sin ( \frac{π}{2} ) cos ( t ) - cos ( \frac{π}{2} ) sin ( t )} : \frac{1}{cos ( t )}

\frac{1}{sin ( \frac{π}{2} ) cos ( t ) - cos ( \frac{π}{2} ) sin ( t )}

sin (\frac{π}{2}) cos (t) - cos (\frac{π}{2}) sin (t) = cos (t)

sin (\frac{π}{2}) cos (t) - cos (\frac{π}{2}) sin (t)

sin (\frac{π}{2}) cos (t) = cos (t)

sin (\frac{π}{2}) cos (t)

Vereinfache

sin (\frac{π}{2}) : 1

sin (\frac{π}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (\frac{π}{2}) = 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

= 1

= 1 \cdot cos (t)

Multipliziere:

1 \cdot cos (t) = cos (t)

= cos (t)

cos (\frac{π}{2}) sin (t) = 0

cos (\frac{π}{2}) sin (t)

Vereinfache

cos (\frac{π}{2}) : 0

cos (\frac{π}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (\frac{π}{2}) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 0

= 0 \cdot sin (t)

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

= cos (t) - 0

cos (t) - 0 = cos (t)

= cos (t)

= \frac{1}{cos ( t )}

= \frac{1}{cos ( t )}

= sin (t) \frac{1}{cos ( t )}

Vereinfache

sin (t) \frac{1}{cos ( t )} : \frac{sin ( t )}{cos ( t )}

sin (t) \frac{1}{cos ( t )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ( t )}{cos ( t )}

Multipliziere:

1 \cdot sin (t) = sin (t)

= \frac{sin ( t )}{cos ( t )}

= \frac{sin ( t )}{cos ( t )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

= tan (t)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{tan ( x )}{csc ( x )} = sec (x) - cos (x)

p ro v e \frac{cos ( 2 x )}{sin ( x )} = cos (x) cot (x) - sin (x)

p ro v e cot^{2} (2 x) + cos^{2} (2 x) + sin^{2} (2 x) = csc^{2} (2 x)

p ro v e 25 sec^{2} (5 x) = 25 + (5 tan (5 x))^{2}

p ro v e tan (x) = csc (2 x) - cot (2 x)