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beweisen (cos(x))/(tan(x))=csc(x)-sin(x)

Lösung

beweisen

\frac{cos ( x )}{tan ( x )} = csc (x) - sin (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{cos ( x )}{tan ( x )} = csc (x) - sin (x)

Manipuliere die linke Seite

\frac{cos ( x )}{tan ( x )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{cos ( x )}{tan ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{cos ( x )}{\frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}

Vereinfache

\frac{cos ( x )}{\frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}} : \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

\frac{cos ( x )}{\frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{cos ( x ) cos ( x )}{sin ( x )}

cos (x) cos (x) = cos^{2} (x)

cos (x) cos (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= cos^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Manipuliere die rechte Seite

csc (x) - sin (x)

Drücke mit sin, cos aus

csc (x) - sin (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( x )} - sin (x)

Vereinfache

\frac{1}{sin ( x )} - sin (x) : \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

\frac{1}{sin ( x )} - sin (x)

Wandle das Element in einen Bruch um:

sin (x) = \frac{sin ( x ) sin ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( x )} - \frac{sin ( x ) sin ( x )}{sin ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - sin ( x ) sin ( x )}{sin ( x )}

1 - sin (x) sin (x) = 1 - sin^{2} (x)

1 - sin (x) sin (x)

sin (x) sin (x) = sin^{2} (x)

sin (x) sin (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= sin^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (x)

= 1 - sin^{2} (x)

= \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sec^{2} (θ) csc^{2} (θ) = sec^{2} (θ) + csc^{2} (θ)

p ro v e (1 - cos^{2} (x)) sec^{2} (x) = tan^{2} (x)

p ro v e sin (θ) cot (θ) sec (θ) = 1

p ro v e cos (2 θ) = \frac{1 - tan ^{2} ( θ )}{1 + tan ^{2} ( θ )}

p ro v e \frac{sin ^{2} ( a )}{1 - cos ( a )} = 1 + cos (a)