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beweisen cos(2θ)=(1-tan^2(θ))/(1+tan^2(θ))

Lösung

beweisen

cos (2 θ) = \frac{1 - tan ^{2} ( θ )}{1 + tan ^{2} ( θ )}

Wahr

Schritte zur Lösung

cos (2 θ) = \frac{1 - tan ^{2} ( θ )}{1 + tan ^{2} ( θ )}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{1 - tan ^{2} ( θ )}{1 + tan ^{2} ( θ )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1 - tan ^{2} ( θ )}{1 + tan ^{2} ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 - ( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{1 + ( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{1 - ( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{1 + ( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}} : \frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}

\frac{1 - ( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{1 + ( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 - ( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{1 + \frac{s i n ^{2} ( θ )}{c o s ^{2} ( θ )}}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 - \frac{s i n ^{2} ( θ )}{c o s ^{2} ( θ )}}{1 + \frac{s i n ^{2} ( θ )}{c o s ^{2} ( θ )}}

Füge

1 + \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

zusammen:

\frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

1 + \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} + \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (θ) = cos^{2} (θ)

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1 - \frac{s i n ^{2} ( θ )}{c o s ^{2} ( θ )}}{\frac{c o s ^{2} ( θ ) + s i n ^{2} ( θ )}{c o s ^{2} ( θ )}}

Füge

1 - \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

zusammen:

\frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

1 - \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} - \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (θ) = cos^{2} (θ)

= \frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{\frac{c o s ^{2} ( θ ) - s i n ^{2} ( θ )}{c o s ^{2} ( θ )}}{\frac{c o s ^{2} ( θ ) + s i n ^{2} ( θ )}{c o s ^{2} ( θ )}}

Teile Brüche:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ ) ) cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) ( cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ ) )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos^{2} (θ)

= \frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (2 x)

= cos (2 θ)

= cos (2 θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{sin ^{2} ( a )}{1 - cos ( a )} = 1 + cos (a)

p ro v e tan (8 θ) - tan (8 θ) tan^{2} (4 θ) = 2 tan (4 θ)

p ro v e (tan (x) + cot (x))^{2} = sec^{2} (x) csc^{2} (x)

p ro v e \frac{cos ( θ )}{1 - sin ( θ )} = \frac{sin ( θ ) - csc ( θ )}{cos ( θ ) - cot ( θ )}

p ro v e \frac{cot ( θ ) sec ( θ )}{csc ( θ )} = 1