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beweisen 1+sec^2(θ)sin^2(θ)=sec^2(θ)

Lösung

beweisen

1 + sec^{2} (θ) sin^{2} (θ) = sec^{2} (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

1 + sec^{2} (θ) sin^{2} (θ) = sec^{2} (θ)

Manipuliere die linke Seite

1 + sec^{2} (θ) sin^{2} (θ)

Drücke mit sin, cos aus

1 + sec^{2} (θ) sin^{2} (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= 1 + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2} sin^{2} (θ)

Vereinfache

1 + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2} sin^{2} (θ) : \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

1 + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2} sin^{2} (θ)

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2} sin^{2} (θ) = \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2} sin^{2} (θ)

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( θ )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )} sin^{2} (θ)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Multipliziere:

1 \cdot sin^{2} (θ) = sin^{2} (θ)

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= 1 + \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} + \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (θ) = cos^{2} (θ)

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{( \frac{1}{s e c ( θ )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{1}{( \frac{1}{s e c ( θ )} ) ^{2}}

(\frac{1}{sec ( θ )})^{2} = \frac{1}{sec ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{sec ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sec ^{2} ( θ )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sec ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{\frac{1}{s e c ^{2} ( θ )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ^{2} ( θ )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= sec^{2} (θ)

sec^{2} (θ)

sec^{2} (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e 3 sin^{2} (x) + 4 cos^{2} (x) = 3 + cos^{2} (x)

p ro v e tan (\frac{π}{2} - θ) tan (θ) = 1

p ro v e (1 - sin^{2} (x)) csc^{2} (x) = cot^{2} (x)

p ro v e sin (t) tan (t) = \frac{1 - cos ^{2} ( t )}{cos ( t )}

p ro v e \frac{csc ( x )}{sin ( x )} - \frac{cot ( x )}{tan ( x )} = 1