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受欢迎的三角函数 >

证明 tan(pi/2-θ)tan(θ)=1

解答

证明

tan (\frac{π}{2} - θ) tan (θ) = 1

解答

真

求解步骤

tan (\frac{π}{2} - θ) tan (θ) = 1

调整左侧

tan (\frac{π}{2} - θ) tan (θ)

使用三角恒等式改写

tan (\frac{π}{2} - θ)

使用基本三角恒等式:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( \frac{π}{2} - θ )}{cos ( \frac{π}{2} - θ )}

使用角差恒等式:

sin (s - t) = sin (s) cos (t) - cos (s) sin (t)

= \frac{sin ( \frac{π}{2} ) cos ( θ ) - cos ( \frac{π}{2} ) sin ( θ )}{cos ( \frac{π}{2} - θ )}

使用角差恒等式:

cos (s - t) = cos (s) cos (t) + sin (s) sin (t)

= \frac{sin ( \frac{π}{2} ) cos ( θ ) - cos ( \frac{π}{2} ) sin ( θ )}{cos ( \frac{π}{2} ) cos ( θ ) + sin ( \frac{π}{2} ) sin ( θ )}

化简

\frac{sin ( \frac{π}{2} ) cos ( θ ) - cos ( \frac{π}{2} ) sin ( θ )}{cos ( \frac{π}{2} ) cos ( θ ) + sin ( \frac{π}{2} ) sin ( θ )} : \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{sin ( \frac{π}{2} ) cos ( θ ) - cos ( \frac{π}{2} ) sin ( θ )}{cos ( \frac{π}{2} ) cos ( θ ) + sin ( \frac{π}{2} ) sin ( θ )}

sin (\frac{π}{2}) cos (θ) - cos (\frac{π}{2}) sin (θ) = cos (θ)

sin (\frac{π}{2}) cos (θ) - cos (\frac{π}{2}) sin (θ)

sin (\frac{π}{2}) cos (θ) = cos (θ)

sin (\frac{π}{2}) cos (θ)

化简

sin (\frac{π}{2}) : 1

sin (\frac{π}{2})

使用以下普通恒等式:

sin (\frac{π}{2}) = 1

sin (x)

周期表（周期为

2 πn

"）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= 1

= 1 \cdot cos (θ)

乘以:

1 \cdot cos (θ) = cos (θ)

= cos (θ)

cos (\frac{π}{2}) sin (θ) = 0

cos (\frac{π}{2}) sin (θ)

化简

cos (\frac{π}{2}) : 0

cos (\frac{π}{2})

使用以下普通恒等式:

cos (\frac{π}{2}) = 0

cos (x)

周期表（周期为

2 πn

）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 0

= 0 \cdot sin (θ)

使用法则

0 \cdot a = 0

= 0

= cos (θ) - 0

cos (θ) - 0 = cos (θ)

= cos (θ)

= \frac{cos ( θ )}{cos ( \frac{π}{2} ) cos ( θ ) + sin ( \frac{π}{2} ) sin ( θ )}

cos (\frac{π}{2}) cos (θ) + sin (\frac{π}{2}) sin (θ) = sin (θ)

cos (\frac{π}{2}) cos (θ) + sin (\frac{π}{2}) sin (θ)

cos (\frac{π}{2}) cos (θ) = 0

cos (\frac{π}{2}) cos (θ)

化简

cos (\frac{π}{2}) : 0

cos (\frac{π}{2})

使用以下普通恒等式:

cos (\frac{π}{2}) = 0

cos (x)

周期表（周期为

2 πn

）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 0

= 0 \cdot cos (θ)

使用法则

0 \cdot a = 0

= 0

sin (\frac{π}{2}) sin (θ) = sin (θ)

sin (\frac{π}{2}) sin (θ)

化简

sin (\frac{π}{2}) : 1

sin (\frac{π}{2})

使用以下普通恒等式:

sin (\frac{π}{2}) = 1

sin (x)

周期表（周期为

2 πn

"）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= 1

= 1 \cdot sin (θ)

乘以:

1 \cdot sin (θ) = sin (θ)

= sin (θ)

= 0 + sin (θ)

0 + sin (θ) = sin (θ)

= sin (θ)

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} tan (θ)

分式相乘:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{cos ( θ ) tan ( θ )}{sin ( θ )}

用 sin, cos 表示

\frac{cos ( θ ) tan ( θ )}{sin ( θ )}

使用基本三角恒等式:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{cos ( θ ) \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}{sin ( θ )}

\frac{cos ( θ ) \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}{sin ( θ )} = 1

\frac{cos ( θ ) \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}{sin ( θ )}

乘

cos (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : sin (θ)

cos (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

分式相乘:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( θ ) cos ( θ )}{cos ( θ )}

约分:

cos (θ)

= sin (θ)

= \frac{sin ( θ )}{sin ( θ )}

使用法则

\frac{a}{a} = 1

= 1

= 1

= 1

我们已展示，在两侧可以有相同的形式

\Rightarrow 真

流行的例子

证明 (1-sin^2(x))csc^2(x)=cot^2(x)

p ro v e (1 - sin^{2} (x)) csc^{2} (x) = cot^{2} (x)

证明 sin(t)tan(t)=(1-cos^2(t))/(cos(t))

p ro v e sin (t) tan (t) = \frac{1 - cos ^{2} ( t )}{cos ( t )}

证明 (csc(x))/(sin(x))-(cot(x))/(tan(x))=1

p ro v e \frac{csc ( x )}{sin ( x )} - \frac{cot ( x )}{tan ( x )} = 1

证明 (csc(x)-cot(x))/(sec(x)-1)=cot(x)

p ro v e \frac{csc ( x ) - cot ( x )}{sec ( x ) - 1} = cot (x)

证明 (1+cos(x))/(1-cos(x))-(1-cos(x))/(1+cos(x))=4cot(x)csc(x)

p ro v e \frac{1 + cos ( x )}{1 - cos ( x )} - \frac{1 - cos ( x )}{1 + cos ( x )} = 4 cot (x) csc (x)