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受欢迎的三角函数 >

证明 sin(pi/4+x)+sin(pi/4-x)=sqrt(2)cos(x)

解答

证明

sin (\frac{π}{4} + x) + sin (\frac{π}{4} - x) = 2 cos (x)

解答

真

求解步骤

sin (\frac{π}{4} + x) + sin (\frac{π}{4} - x) = 2 cos (x)

调整左侧

sin (\frac{π}{4} + x) + sin (\frac{π}{4} - x)

使用三角恒等式改写

sin (\frac{π}{4} - x)

使用角差恒等式:

sin (s - t) = sin (s) cos (t) - cos (s) sin (t)

= sin (\frac{π}{4}) cos (x) - cos (\frac{π}{4}) sin (x)

化简

sin (\frac{π}{4}) cos (x) - cos (\frac{π}{4}) sin (x) : \frac{2 cos ( x ) - 2 sin ( x )}{2}

sin (\frac{π}{4}) cos (x) - cos (\frac{π}{4}) sin (x)

sin (\frac{π}{4}) cos (x) = \frac{2 cos ( x )}{2}

sin (\frac{π}{4}) cos (x)

化简

sin (\frac{π}{4}) : \frac{2}{2}

sin (\frac{π}{4})

使用以下普通恒等式:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

sin (x)

周期表（周期为

2 πn

"）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} cos (x)

分式相乘:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 cos ( x )}{2}

cos (\frac{π}{4}) sin (x) = \frac{2 sin ( x )}{2}

cos (\frac{π}{4}) sin (x)

化简

cos (\frac{π}{4}) : \frac{2}{2}

cos (\frac{π}{4})

使用以下普通恒等式:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

cos (x)

周期表（周期为

2 πn

）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} sin (x)

分式相乘:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 sin ( x )}{2}

= \frac{2 cos ( x )}{2} - \frac{2 sin ( x )}{2}

使用法则

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 cos ( x ) - 2 sin ( x )}{2}

= \frac{2 cos ( x ) - 2 sin ( x )}{2}

= sin (\frac{π}{4} + x) + \frac{2 cos ( x ) - 2 sin ( x )}{2}

使用三角恒等式改写

sin (\frac{π}{4} + x)

使用角和恒等式:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= sin (\frac{π}{4}) cos (x) + cos (\frac{π}{4}) sin (x)

化简

sin (\frac{π}{4}) cos (x) + cos (\frac{π}{4}) sin (x) : \frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2}

sin (\frac{π}{4}) cos (x) + cos (\frac{π}{4}) sin (x)

sin (\frac{π}{4}) cos (x) = \frac{2 cos ( x )}{2}

sin (\frac{π}{4}) cos (x)

化简

sin (\frac{π}{4}) : \frac{2}{2}

sin (\frac{π}{4})

使用以下普通恒等式:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

sin (x)

周期表（周期为

2 πn

"）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} cos (x)

分式相乘:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 cos ( x )}{2}

cos (\frac{π}{4}) sin (x) = \frac{2 sin ( x )}{2}

cos (\frac{π}{4}) sin (x)

化简

cos (\frac{π}{4}) : \frac{2}{2}

cos (\frac{π}{4})

使用以下普通恒等式:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

cos (x)

周期表（周期为

2 πn

）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} sin (x)

分式相乘:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 sin ( x )}{2}

= \frac{2 cos ( x )}{2} + \frac{2 sin ( x )}{2}

使用法则

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2}

= \frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2}

= \frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2} + \frac{2 cos ( x ) - 2 sin ( x )}{2}

化简

\frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2} + \frac{2 cos ( x ) - 2 sin ( x )}{2} : 2 cos (x)

\frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2} + \frac{2 cos ( x ) - 2 sin ( x )}{2}

使用法则

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x ) + 2 cos ( x ) - 2 sin ( x )}{2}

2 cos (x) + 2 sin (x) + 2 cos (x) - 2 sin (x) = 22 cos (x)

2 cos (x) + 2 sin (x) + 2 cos (x) - 2 sin (x)

同类项相加:

2 cos (x) + 2 cos (x) = 22 cos (x)

= 22 cos (x) + 2 sin (x) - 2 sin (x)

同类项相加:

2 sin (x) - 2 sin (x) = 0

= 22 cos (x)

= \frac{2 2 cos ( x )}{2}

数字相除:

\frac{2}{2} = 1

= 2 cos (x)

= 2 cos (x)

我们已展示，在两侧可以有相同的形式

\Rightarrow 真

流行的例子

证明 sin(θ)sec(θ)cot(θ)=1

p ro v e sin (θ) sec (θ) cot (θ) = 1

证明 1+sec^2(θ)sin^2(θ)=sec^2(θ)

p ro v e 1 + sec^{2} (θ) sin^{2} (θ) = sec^{2} (θ)

证明 3sin^2(x)+4cos^2(x)=3+cos^2(x)

p ro v e 3 sin^{2} (x) + 4 cos^{2} (x) = 3 + cos^{2} (x)

证明 tan(pi/2-θ)tan(θ)=1

p ro v e tan (\frac{π}{2} - θ) tan (θ) = 1

证明 (1-sin^2(x))csc^2(x)=cot^2(x)

p ro v e (1 - sin^{2} (x)) csc^{2} (x) = cot^{2} (x)