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受欢迎的三角函数 >

证明 tan(θ)+cot(θ)=2csc(2θ)

解答

证明

tan (θ) + cot (θ) = 2 csc (2 θ)

解答

真

求解步骤

tan (θ) + cot (θ) = 2 csc (2 θ)

调整左侧

tan (θ) + cot (θ)

用 sin, cos 表示

cot (θ) + tan (θ)

使用基本三角恒等式:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + tan (θ)

使用基本三角恒等式:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

化简

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

sin (θ), cos (θ)

的最小公倍数:

sin (θ) cos (θ)

sin (θ), cos (θ)

最小公倍数 (LCM)

计算出由出现在

sin (θ)

或

cos (θ)

中的因子组成的表达式

= sin (θ) cos (θ)

根据最小公倍数调整分式

将每个分子乘以其分母转变为最小公倍数所要乘以的同一数值

sin (θ) cos (θ)

对于

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} :

将分母和分子乘以

cos (θ)

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} = \frac{cos ( θ ) cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )} = \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

对于

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} :

将分母和分子乘以

sin (θ)

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} = \frac{sin ( θ ) sin ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )} = \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )} + \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

使用三角恒等式改写

\frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

使用倍角公式:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

sin (x) cos (x) = \frac{sin ( 2 x )}{2}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{\frac{s i n ( 2 θ )}{2}}

使用分式法则:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ ) ) \cdot 2}{sin ( 2 θ )}

使用毕达哥拉斯恒等式:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1 \cdot 2}{sin ( 2 θ )}

化简

= \frac{2}{sin ( 2 θ )}

= \frac{2}{sin ( 2 θ )}

使用三角恒等式改写

使用基本三角恒等式:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{2}{\frac{1}{c s c ( 2 θ )}}

化简

\frac{2}{\frac{1}{c s c ( 2 θ )}}

使用分式法则:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{2 csc ( 2 θ )}{1}

使用法则

\frac{a}{1} = a

= 2 csc (2 θ)

2 csc (2 θ)

2 csc (2 θ)

我们已展示，在两侧可以有相同的形式

\Rightarrow 真

流行的例子

证明 csc^4(x)-cot^4(x)=2cot^2(x)+1

p ro v e csc^{4} (x) - cot^{4} (x) = 2 cot^{2} (x) + 1

证明 cos(-x)-sin(-x)=cos(x)+sin(x)

p ro v e cos (- x) - sin (- x) = cos (x) + sin (x)

证明 cos(θ)sec(θ)=1

p ro v e cos (θ) sec (θ) = 1

证明 cos(a+b)+cos(a-b)=2cos(a)cos(b)

p ro v e cos (a + b) + cos (a - b) = 2 cos (a) cos (b)

证明 csc^2(x)-cos^2(x)csc^2(x)=1

p ro v e csc^{2} (x) - cos^{2} (x) csc^{2} (x) = 1