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Beliebt Trigonometrie >

-3cos(2θ)-18sin(θ)-8=-5sin(θ)-6

Lösung

- 3 cos (2 θ) - 18 sin (θ) - 8 = - 5 sin (θ) - 6

Lösung

θ = - 0.33983 \dots + 2 πn, θ = π + 0.33983 \dots + 2 πn

Grad

θ = - 19.47122 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 199.47122 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

- 3 cos (2 θ) - 18 sin (θ) - 8 = - 5 sin (θ) - 6

Subtrahiere

- 5 sin (θ) - 6

von beiden Seiten

- 3 cos (2 θ) - 13 sin (θ) - 2 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 2 - 13 sin (θ) - 3 cos (2 θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= - 2 - 13 sin (θ) - 3 (1 - 2 sin^{2} (θ))

Vereinfache

- 2 - 13 sin (θ) - 3 (1 - 2 sin^{2} (θ)) : 6 sin^{2} (θ) - 13 sin (θ) - 5

- 2 - 13 sin (θ) - 3 (1 - 2 sin^{2} (θ))

Multipliziere aus

- 3 (1 - 2 sin^{2} (θ)) : - 3 + 6 sin^{2} (θ)

- 3 (1 - 2 sin^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 3, b = 1, c = 2 sin^{2} (θ)

= - 3 \cdot 1 - (- 3) \cdot 2 sin^{2} (θ)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2 sin^{2} (θ)

Vereinfache

- 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2 sin^{2} (θ) : - 3 + 6 sin^{2} (θ)

- 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2 sin^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 1 = 3

= - 3 + 3 \cdot 2 sin^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 2 = 6

= - 3 + 6 sin^{2} (θ)

= - 3 + 6 sin^{2} (θ)

= - 2 - 13 sin (θ) - 3 + 6 sin^{2} (θ)

Vereinfache

- 2 - 13 sin (θ) - 3 + 6 sin^{2} (θ) : 6 sin^{2} (θ) - 13 sin (θ) - 5

- 2 - 13 sin (θ) - 3 + 6 sin^{2} (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 13 sin (θ) + 6 sin^{2} (θ) - 2 - 3

Subtrahiere die Zahlen:

- 2 - 3 = - 5

= 6 sin^{2} (θ) - 13 sin (θ) - 5

= 6 sin^{2} (θ) - 13 sin (θ) - 5

= 6 sin^{2} (θ) - 13 sin (θ) - 5

- 5 - 13 sin (θ) + 6 sin^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

- 5 - 13 sin (θ) + 6 sin^{2} (θ) = 0

Angenommen:

sin (θ) = u

- 5 - 13 u + 6 u^{2} = 0

- 5 - 13 u + 6 u^{2} = 0 : u = \frac{5}{2}, u = - \frac{1}{3}

- 5 - 13 u + 6 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

6 u^{2} - 13 u - 5 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

6 u^{2} - 13 u - 5 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 6, b = - 13, c = - 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 13 ) \pm ( - 13 ) ^{2} - 4 \cdot 6 ( - 5 )}{2 \cdot 6}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 13 ) \pm ( - 13 ) ^{2} - 4 \cdot 6 ( - 5 )}{2 \cdot 6}

(- 13)^{2} - 4 \cdot 6 (- 5) = 17

(- 13)^{2} - 4 \cdot 6 (- 5)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 13)^{2} + 4 \cdot 6 \cdot 5

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 13)^{2} = 1 3^{2}

= 1 3^{2} + 4 \cdot 6 \cdot 5

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 6 \cdot 5 = 120

= 1 3^{2} + 120

1 3^{2} = 169

= 169 + 120

Addiere die Zahlen:

169 + 120 = 289

= 289

Faktorisiere die Zahl:

289 = 1 7^{2}

= 1 7^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

1 7^{2} = 17

= 17

u_{1, 2} = \frac{- ( - 13 ) \pm 17}{2 \cdot 6}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 13 ) + 17}{2 \cdot 6}, u_{2} = \frac{- ( - 13 ) - 17}{2 \cdot 6}

u = \frac{- ( - 13 ) + 17}{2 \cdot 6} : \frac{5}{2}

\frac{- ( - 13 ) + 17}{2 \cdot 6}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{13 + 17}{2 \cdot 6}

Addiere die Zahlen:

13 + 17 = 30

= \frac{30}{2 \cdot 6}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{30}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

6

= \frac{5}{2}

u = \frac{- ( - 13 ) - 17}{2 \cdot 6} : - \frac{1}{3}

\frac{- ( - 13 ) - 17}{2 \cdot 6}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{13 - 17}{2 \cdot 6}

Subtrahiere die Zahlen:

13 - 17 = - 4

= \frac{- 4}{2 \cdot 6}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{- 4}{12}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= - \frac{1}{3}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{5}{2}, u = - \frac{1}{3}

Setze in

u = sin (θ)

ein

sin (θ) = \frac{5}{2}, sin (θ) = - \frac{1}{3}

sin (θ) = \frac{5}{2}, sin (θ) = - \frac{1}{3}

sin (θ) = \frac{5}{2} :

Keine Lösung

sin (θ) = \frac{5}{2}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

sin (θ) = - \frac{1}{3} : θ = arcsin (- \frac{1}{3}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

sin (θ) = - \frac{1}{3}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (θ) = - \frac{1}{3}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = - \frac{1}{3}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (- \frac{1}{3}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

θ = arcsin (- \frac{1}{3}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = arcsin (- \frac{1}{3}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = - 0.33983 \dots + 2 πn, θ = π + 0.33983 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

tan^2(x)+4tan(x)=3

tan^{2} (x) + 4 tan (x) = 3

sin(1-2x)=1

sin (1 - 2 x) = 1

5cos(x)+2=cos(x)

5 cos (x) + 2 = cos (x)

sec(x)=-5,pi<x<(3pi)/2

sec (x) = - 5, π < x < \frac{3 π}{2}

sin(θ/2)= 3/5

sin (\frac{θ}{2}) = \frac{3}{5}