integral of sin^3(mx)cos^2(mx)

Lösung

\int sin^{3} (m x) cos^{2} (m x) d x

\frac{1}{m} (- \frac{cos ^{3} ( m x )}{3} + \frac{cos ^{5} ( m x )}{5}) + C

Schritte zur Lösung

\int sin^{3} (m x) cos^{2} (m x) d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{sin ^{3} ( u ) cos ^{2} ( u )}{m} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{m} \cdot \int sin^{3} (u) cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{m} \cdot \int (1 - cos^{2} (u)) sin (u) cos^{2} (u) d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{m} \cdot \int - v^{2} (1 - v^{2}) d v

Multipliziere aus

- v^{2} (1 - v^{2}) : - v^{2} + v^{4}

= \frac{1}{m} \cdot \int - v^{2} + v^{4} d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{m} (- \int v^{2} d v + \int v^{4} d v)

\int v^{2} d v = \frac{v ^{3}}{3}

\int v^{4} d v = \frac{v ^{5}}{5}

= \frac{1}{m} (- \frac{v ^{3}}{3} + \frac{v ^{5}}{5})

Ersetze zurück

= \frac{1}{m} (- \frac{cos ^{3} ( m x )}{3} + \frac{cos ^{5} ( m x )}{5})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{m} (- \frac{cos ^{3} ( m x )}{3} + \frac{cos ^{5} ( m x )}{5}) + C

\int \frac{x}{3 1 + x ^{2}} d x

\int (2 - 6 x) d x

\int x^{2} 1 - 3 x^{2} d x

\int (1 + sin^{2} (x)) sin (2 x) d x

\int \frac{2 x ^{2} + 6}{x ^{2} + 2 x - 8} d x