integral of x^2sqrt(1-3x^2)

Lösung

\int x^{2} 1 - 3 x^{2} d x

\frac{1}{24 3} (arcsin (3 x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (3 x))) + C

Schritte zur Lösung

\int x^{2} 1 - 3 x^{2} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{1}{3 3} sin^{2} (u) cos^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3 3} \cdot \int sin^{2} (u) cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{3 3} \cdot \int \frac{1 - cos ( 4 u )}{8} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3 3} \cdot \frac{1}{8} \cdot \int 1 - cos (4 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{3 3} \cdot \frac{1}{8} (\int 1 d u - \int cos (4 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (4 u) d u = \frac{1}{4} sin (4 u)

= \frac{1}{3 3} \cdot \frac{1}{8} (u - \frac{1}{4} sin (4 u))

Setze in

u = arcsin (3 x)

ein

= \frac{1}{3 3} \cdot \frac{1}{8} (arcsin (3 x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (3 x)))

Vereinfache

\frac{1}{3 3} \cdot \frac{1}{8} (arcsin (3 x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (3 x))) : \frac{1}{24 3} (arcsin (3 x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (3 x)))

= \frac{1}{24 3} (arcsin (3 x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (3 x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{24 3} (arcsin (3 x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (3 x))) + C

\int (1 + sin^{2} (x)) sin (2 x) d x

\int \frac{2 x ^{2} + 6}{x ^{2} + 2 x - 8} d x

\int csch (6 x) d x

\int \frac{3}{( x ^{2} + 1 ) ( x ^{2} + 4 )} d x

\int \frac{8 x ^{3}}{5 - x ^{4}} d x