integral of (1+sin^2(x))sin(2x)

Lösung

\int (1 + sin^{2} (x)) sin (2 x) d x

sin^{2} (x) + \frac{1}{2} sin^{4} (x) + C

Schritte zur Lösung

\int (1 + sin^{2} (x)) sin (2 x) d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int 2 cos (x) sin (x) (1 + sin^{2} (x)) d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int cos (x) sin (x) (1 + sin^{2} (x)) d x

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \int u (1 + u^{2}) d u

Multipliziere aus

u (1 + u^{2}) : u + u^{3}

= 2 \cdot \int u + u^{3} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 (\int u d u + \int u^{3} d u)

\int u d u = \frac{u ^{2}}{2}

\int u^{3} d u = \frac{u ^{4}}{4}

= 2 (\frac{u ^{2}}{2} + \frac{u ^{4}}{4})

Setze in

u = sin (x)

ein

= 2 (\frac{sin ^{2} ( x )}{2} + \frac{sin ^{4} ( x )}{4})

Vereinfache

2 (\frac{sin ^{2} ( x )}{2} + \frac{sin ^{4} ( x )}{4}) : sin^{2} (x) + \frac{1}{2} sin^{4} (x)

= sin^{2} (x) + \frac{1}{2} sin^{4} (x)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= sin^{2} (x) + \frac{1}{2} sin^{4} (x) + C

\int \frac{2 x ^{2} + 6}{x ^{2} + 2 x - 8} d x

\int csch (6 x) d x

\int \frac{3}{( x ^{2} + 1 ) ( x ^{2} + 4 )} d x

\int \frac{8 x ^{3}}{5 - x ^{4}} d x

\int \frac{( cos ( x ) )}{1 + sin ( x )} d x