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integral of 3/(x^2-8x+13)

Lösung

\int \frac{3}{x ^{2} - 8 x + 13} d x

- 3 (\frac{1}{2} ln \frac{x - 4}{3} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{x - 4}{3} - 1) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{3}{x ^{2} - 8 x + 13} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \int \frac{1}{x ^{2} - 8 x + 13} d x

Vervollständige das Quadrat

x^{2} - 8 x + 13 : (x - 4)^{2} - 3

= 3 \cdot \int \frac{1}{( x - 4 ) ^{2} - 3} d x

Wende U-Substitution an

= 3 \cdot \int \frac{1}{u ^{2} - 3} d u

Wende integrale Substitution an

= 3 \cdot \int \frac{1}{3 ( v ^{2} - 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot \int \frac{1}{v ^{2} - 1} d v

Faktorisiere

v^{2} - 1 : - (- v^{2} + 1)

= 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot \int \frac{1}{- ( - v ^{2} + 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \frac{1}{3} (- \int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v)

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v = \frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}

= 3 \cdot \frac{1}{3} (- (\frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}))

Ersetze zurück

= 3 \cdot \frac{1}{3} - \frac{ln \frac{x - 4}{3} + 1}{2} - \frac{ln \frac{x - 4}{3} - 1}{2}

Vereinfache

3 \cdot \frac{1}{3} - \frac{ln \frac{x - 4}{3} + 1}{2} - \frac{ln \frac{x - 4}{3} - 1}{2} : - 3 (\frac{1}{2} ln \frac{x - 4}{3} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{x - 4}{3} - 1)

= - 3 (\frac{1}{2} ln \frac{x - 4}{3} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{x - 4}{3} - 1)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - 3 (\frac{1}{2} ln \frac{x - 4}{3} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{x - 4}{3} - 1) + C

\int \frac{2}{x ( x + 5 )} d x

\int \frac{7}{2 + 3 y} d y

\int 2 cot^{2} (x) csc^{4} (x) d x

\int \frac{x}{( x - 1 ) ( x - 3 ) ^{2}} d x

\int cos^{3} (3 y) d y