sum from n=0 to infinity of (n+1)/(e^n)

解

n = 0 \sum \infty \frac{n + 1}{e ^{n}}

は収束する

解答ステップ

n = 0 \sum \infty \frac{n + 1}{e ^{n}}

拡張

\frac{n + 1}{e ^{n}} : \frac{n}{e ^{n}} + \frac{1}{e ^{n}}

= n = 0 \sum \infty \frac{n}{e ^{n}} + \frac{1}{e ^{n}}

総和規則を適用する:

\sum a_{n} + b_{n} = \sum a_{n} + \sum b_{n}

= n = 0 \sum \infty \frac{n}{e ^{n}} + n = 0 \sum \infty \frac{1}{e ^{n}}

n = 0 \sum \infty \frac{n}{e ^{n}} =

は収束する

n = 0 \sum \infty \frac{1}{e ^{n}} = \frac{e}{e - 1}

= は収束する + \frac{e}{e - 1}

= は収束する