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((1+cot^2(x)))/(cos^2(x))=cot^2(x)

Lösung

\frac{( 1 + cot ^{2} ( x ) )}{cos ^{2} ( x )} = cot^{2} (x)

Lösung

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

Schritte zur Lösung

\frac{( 1 + cot ^{2} ( x ) )}{cos ^{2} ( x )} = cot^{2} (x)

Subtrahiere

cot^{2} (x)

von beiden Seiten

\frac{1 + cot ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} - cot^{2} (x) = 0

Vereinfache

\frac{1 + cot ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} - cot^{2} (x) : \frac{1 + cot ^{2} ( x ) - cot ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

\frac{1 + cot ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} - cot^{2} (x)

Wandle das Element in einen Bruch um:

cot^{2} (x) = \frac{cot ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1 + cot ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} - \frac{cot ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + cot ^{2} ( x ) - cot ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

\frac{1 + cot ^{2} ( x ) - cot ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

1 + cot^{2} (x) - cot^{2} (x) cos^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 + cot^{2} (x) - cos^{2} (x) cot^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 + cot^{2} (x) = csc^{2} (x)

= - cos^{2} (x) cot^{2} (x) + csc^{2} (x)

csc^{2} (x) - cos^{2} (x) cot^{2} (x) = 0

Faktorisiere

csc^{2} (x) - cos^{2} (x) cot^{2} (x) : (csc (x) + cos (x) cot (x)) (csc (x) - cos (x) cot (x))

csc^{2} (x) - cos^{2} (x) cot^{2} (x)

Schreibe

cos^{2} (x) cot^{2} (x)

um:

(cos (x) cot (x))^{2}

cos^{2} (x) cot^{2} (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

cos^{2} (x) cot^{2} (x) = (cos (x) cot (x))^{2}

= (cos (x) cot (x))^{2}

= csc^{2} (x) - (cos (x) cot (x))^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

csc^{2} (x) - (cos (x) cot (x))^{2} = (csc (x) + cos (x) cot (x)) (csc (x) - cos (x) cot (x))

= (csc (x) + cos (x) cot (x)) (csc (x) - cos (x) cot (x))

(csc (x) + cos (x) cot (x)) (csc (x) - cos (x) cot (x)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

csc (x) + cos (x) cot (x) = 0 or csc (x) - cos (x) cot (x) = 0

csc (x) + cos (x) cot (x) = 0 :

Keine Lösung

csc (x) + cos (x) cot (x) = 0

Drücke mit sin, cos aus

csc (x) + cos (x) cot (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( x )} + cos (x) cot (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( x )} + cos (x) \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Vereinfache

\frac{1}{sin ( x )} + cos (x) \frac{cos ( x )}{sin ( x )} : \frac{1 + cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

\frac{1}{sin ( x )} + cos (x) \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

cos (x) \frac{cos ( x )}{sin ( x )} = \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

cos (x) \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{cos ( x ) cos ( x )}{sin ( x )}

cos (x) cos (x) = cos^{2} (x)

cos (x) cos (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= cos^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( x )} + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1 + cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

\frac{1 + cos ^{2} ( x )}{sin ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

1 + cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

1 + cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

1 + u^{2} = 0

1 + u^{2} = 0 : u = i, u = - i

1 + u^{2} = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 + u^{2} = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 + u^{2} - 1 = 0 - 1

Vereinfache

u^{2} = - 1

u^{2} = - 1

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = - 1, u = - - 1

Vereinfache

- 1 : i

- 1

Wende imaginäre Zahlenregel an:

- 1 = i

= i

Vereinfache

- - 1 : - i

- - 1

Wende imaginäre Zahlenregel an:

- 1 = i

= - i

u = i, u = - i

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = i, cos (x) = - i

cos (x) = i, cos (x) = - i

cos (x) = i :

Keine Lösung

cos (x) = i

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = - i :

Keine Lösung

cos (x) = - i

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

Keine L \overset{o}{¨} sung

csc (x) - cos (x) cot (x) = 0 :

Keine Lösung

csc (x) - cos (x) cot (x) = 0

Drücke mit sin, cos aus

csc (x) - cos (x) cot (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( x )} - cos (x) cot (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( x )} - cos (x) \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Vereinfache

\frac{1}{sin ( x )} - cos (x) \frac{cos ( x )}{sin ( x )} : \frac{1 - cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

\frac{1}{sin ( x )} - cos (x) \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

cos (x) \frac{cos ( x )}{sin ( x )} = \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

cos (x) \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{cos ( x ) cos ( x )}{sin ( x )}

cos (x) cos (x) = cos^{2} (x)

cos (x) cos (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= cos^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( x )} - \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1 - cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

\frac{1 - cos ^{2} ( x )}{sin ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

1 - cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

1 - cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

1 - u^{2} = 0

1 - u^{2} = 0 : u = 1, u = - 1

1 - u^{2} = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 - u^{2} = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 - u^{2} - 1 = 0 - 1

Vereinfache

- u^{2} = - 1

- u^{2} = - 1

Teile beide Seiten durch

- 1

- u^{2} = - 1

Teile beide Seiten durch

- 1

\frac{- u ^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

Vereinfache

u^{2} = 1

u^{2} = 1

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Wende Regel an

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Wende Regel an

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = 1, cos (x) = - 1

cos (x) = 1, cos (x) = - 1

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

cos (x) = - 1 : x = π + 2 πn

cos (x) = - 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Da die Gleichung undefiniert ist für:

2 πn, π + 2 πn

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

Beliebte Beispiele

sin(2p+1)=-1

sin (2 p + 1) = - 1

solvefor y,a*z=5sin(2y)löse nach

y, a \cdot z = 5 sin (2 y)

sin^3(x)=sin^2(x)

sin^{3} (x) = sin^{2} (x)

2sec^2(a)+tan^2(a)=3

2 sec^{2} (a) + tan^{2} (a) = 3

3cos^2(x)+4cos(x)+1=0

3 cos^{2} (x) + 4 cos (x) + 1 = 0