English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Популярное Тригонометрия >

tan^2(a)=((2tan(a)))/((1-tan^2(a)))

Решение

tan^{2} (a) = \frac{( 2 tan ( a ) )}{( 1 - tan ^{2} ( a ) )}

Решение

a = πn, a = - 0.98930 \dots + πn

Градусы

a = 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n, a = - 56.68315 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Шаги решения

tan^{2} (a) = \frac{( 2 tan ( a ) )}{( 1 - tan ^{2} ( a ) )}

Решитe подстановкой

tan^{2} (a) = \frac{2 tan ( a )}{1 - tan ^{2} ( a )}

Допустим:

tan (a) = u

u^{2} = \frac{2 u}{1 - u ^{2}}

u^{2} = \frac{2 u}{1 - u ^{2}} : u = 0, u \approx - 1.52137 \dots

u^{2} = \frac{2 u}{1 - u ^{2}}

Умножьте обе части на

1 - u^{2}

u^{2} = \frac{2 u}{1 - u ^{2}}

Умножьте обе части на

1 - u^{2}

u^{2} (1 - u^{2}) = \frac{2 u}{1 - u ^{2}} (1 - u^{2})

После упрощения получаем

u^{2} (1 - u^{2}) = 2 u

u^{2} (1 - u^{2}) = 2 u

Решить

u^{2} (1 - u^{2}) = 2 u : u = 0, u \approx - 1.52137 \dots

u^{2} (1 - u^{2}) = 2 u

Переместите

2 u

влево

u^{2} (1 - u^{2}) = 2 u

Вычтите

2 u

с обеих сторон

u^{2} (1 - u^{2}) - 2 u = 2 u - 2 u

После упрощения получаем

u^{2} (1 - u^{2}) - 2 u = 0

u^{2} (1 - u^{2}) - 2 u = 0

Найдите множитель

u^{2} (1 - u^{2}) - 2 u : - u (u^{3} - u + 2)

u^{2} (1 - u^{2}) - 2 u

Примените правило возведения в степень:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= uu (- uu + 1) - 2 u

Убрать общее значение

u

= u (u (- u^{2} + 1) - 2)

коэффициент

u (- u^{2} + 1) - 2 : - (u^{3} - u + 2)

u (- u^{2} + 1) - 2

u (- u^{2} + 1) = - u (u + 1) (u - 1)

u (- u^{2} + 1)

коэффициент

- u^{2} + 1 : - (u + 1) (u - 1)

- u^{2} + 1

Убрать общее значение

- 1

= - (u^{2} - 1)

коэффициент

u^{2} - 1 : (u + 1) (u - 1)

u^{2} - 1

Перепишите

1

как

1^{2}

= u^{2} - 1^{2}

Примените формулу разности двух квадратов:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

u^{2} - 1^{2} = (u + 1) (u - 1)

= (u + 1) (u - 1)

= - (u + 1) (u - 1)

= - u (u + 1) (u - 1)

= - u (u + 1) (u - 1) - 2

Расширить

- u (u + 1) (u - 1) - 2 : - u^{3} + u - 2

- u (u + 1) (u - 1) - 2

Расширить

- u (u + 1) (u - 1) : - u^{3} + u

Расширить

(u + 1) (u - 1) : u^{2} - 1

(u + 1) (u - 1)

Примените формулу разности двух квадратов:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = u, b = 1

= u^{2} - 1^{2}

Примените правило

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= u^{2} - 1

= - u (u^{2} - 1)

Расширить

- u (u^{2} - 1) : - u^{3} + u

- u (u^{2} - 1)

Примените распределительный закон:

a (b - c) = ab - a c

a = - u, b = u^{2}, c = 1

= - u u^{2} - (- u) \cdot 1

Применение правил минус-плюс

- (- a) = a

= - u^{2} u + 1 \cdot u

Упростить

- u^{2} u + 1 \cdot u : - u^{3} + u

- u^{2} u + 1 \cdot u

u^{2} u = u^{3}

u^{2} u

Примените правило возведения в степень:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u = u^{2 + 1}

= u^{2 + 1}

Добавьте числа:

2 + 1 = 3

= u^{3}

1 \cdot u = u

1 \cdot u

Умножьте:

1 \cdot u = u

= u

= - u^{3} + u

= - u^{3} + u

= - u^{3} + u

= - u^{3} + u - 2

= - u^{3} + u - 2

коэффициент

- u^{3} + u - 2 : - (u^{3} - u + 2)

- u^{3} + u - 2

Убрать общее значение

- 1

= - (u^{3} - u + 2)

= - (u^{3} - u + 2)

= u (- (u^{3} - u + 2))

Уточнить

= - u (u^{3} - u + 2)

- u (u^{3} - u + 2) = 0

Использование принципа нулевого множителя:

Если

ab = 0

то

a = 0

или

b = 0

u = 0 or u^{3} - u + 2 = 0

Решить

u^{3} - u + 2 = 0 : u \approx - 1.52137 \dots

u^{3} - u + 2 = 0

Найдите одно решение для

u^{3} - u + 2 = 0

с использованием метода Ньютона-Рафсона:

u \approx - 1.52137 \dots

u^{3} - u + 2 = 0

Определение приближения Ньютона-Рафсона

f (u) = u^{3} - u + 2

Найдите

f^{^{'}} (u) : 3 u^{2} - 1

\frac{d}{d u} (u^{3} - u + 2)

Производная суммы:

(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}

= \frac{d}{d u} (u^{3}) - \frac{d u}{d u} + \frac{d}{d u} (2)

\frac{d}{d u} (u^{3}) = 3 u^{2}

\frac{d}{d u} (u^{3})

Производная степенной функции:

\frac{d}{d x} (x^{a}) = a \cdot x^{a - 1}

= 3 u^{3 - 1}

После упрощения получаем

= 3 u^{2}

\frac{d u}{d u} = 1

\frac{d u}{d u}

Воспользуемся таблицей производных элементарных функций :

\frac{d u}{d u} = 1

= 1

\frac{d}{d u} (2) = 0

\frac{d}{d u} (2)

Производная постоянной:

\frac{d}{d x} (a) = 0

= 0

= 3 u^{2} - 1 + 0

После упрощения получаем

= 3 u^{2} - 1

Пусть

u_{0} = - 1

Вычислите

u_{n + 1}

до момента

Δ u_{n + 1} < 0.000001

u_{1} = - 2 : Δ u_{1} = 1

f (u_{0}) = (- 1)^{3} - (- 1) + 2 = 2

f^{^{'}} (u_{0}) = 3 (- 1)^{2} - 1 = 2

u_{1} = - 2

Δ u_{1} = ∣ - 2 - (- 1) ∣ = 1

Δ u_{1} = 1

u_{2} = - 1.63636 \dots : Δ u_{2} = 0.36363 \dots

f (u_{1}) = (- 2)^{3} - (- 2) + 2 = - 4

f^{^{'}} (u_{1}) = 3 (- 2)^{2} - 1 = 11

u_{2} = - 1.63636 \dots

Δ u_{2} = ∣ - 1.63636 \dots - (- 2) ∣ = 0.36363 \dots

Δ u_{2} = 0.36363 \dots

u_{3} = - 1.53039 \dots : Δ u_{3} = 0.10597 \dots

f (u_{2}) = (- 1.63636 \dots)^{3} - (- 1.63636 \dots) + 2 = - 0.74530 \dots

f^{^{'}} (u_{2}) = 3 (- 1.63636 \dots)^{2} - 1 = 7.03305 \dots

u_{3} = - 1.53039 \dots

Δ u_{3} = ∣ - 1.53039 \dots - (- 1.63636 \dots) ∣ = 0.10597 \dots

Δ u_{3} = 0.10597 \dots

u_{4} = - 1.52144 \dots : Δ u_{4} = 0.00895 \dots

f (u_{3}) = (- 1.53039 \dots)^{3} - (- 1.53039 \dots) + 2 = - 0.05393 \dots

f^{^{'}} (u_{3}) = 3 (- 1.53039 \dots)^{2} - 1 = 6.02629 \dots

u_{4} = - 1.52144 \dots

Δ u_{4} = ∣ - 1.52144 \dots - (- 1.53039 \dots) ∣ = 0.00895 \dots

Δ u_{4} = 0.00895 \dots

u_{5} = - 1.52137 \dots : Δ u_{5} = 0.00006 \dots

f (u_{4}) = (- 1.52144 \dots)^{3} - (- 1.52144 \dots) + 2 = - 0.00036 \dots

f^{^{'}} (u_{4}) = 3 (- 1.52144 \dots)^{2} - 1 = 5.94435 \dots

u_{5} = - 1.52137 \dots

Δ u_{5} = ∣ - 1.52137 \dots - (- 1.52144 \dots) ∣ = 0.00006 \dots

Δ u_{5} = 0.00006 \dots

u_{6} = - 1.52137 \dots : Δ u_{6} = 2.92858 E - 9

f (u_{5}) = (- 1.52137 \dots)^{3} - (- 1.52137 \dots) + 2 = - 1.74069 E - 8

f^{^{'}} (u_{5}) = 3 (- 1.52137 \dots)^{2} - 1 = 5.94378 \dots

u_{6} = - 1.52137 \dots

Δ u_{6} = ∣ - 1.52137 \dots - (- 1.52137 \dots) ∣ = 2.92858 E - 9

Δ u_{6} = 2.92858 E - 9

u \approx - 1.52137 \dots

Примените деление столбиком:

\frac{u ^{3} - u + 2}{u + 1.52137 \dots} = u^{2} - 1.52137 \dots u + 1.31459 \dots

u^{2} - 1.52137 \dots u + 1.31459 \dots \approx 0

Найдите одно решение для

u^{2} - 1.52137 \dots u + 1.31459 \dots = 0

с использованием метода Ньютона-Рафсона:

Решения для

u \in R

нет

u^{2} - 1.52137 \dots u + 1.31459 \dots = 0

Определение приближения Ньютона-Рафсона

f (u) = u^{2} - 1.52137 \dots u + 1.31459 \dots

Найдите

f^{^{'}} (u) : 2 u - 1.52137 \dots

\frac{d}{d u} (u^{2} - 1.52137 \dots u + 1.31459 \dots)

Производная суммы:

(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}

= \frac{d}{d u} (u^{2}) - \frac{d}{d u} (1.52137 \dots u) + \frac{d}{d u} (1.31459 \dots)

\frac{d}{d u} (u^{2}) = 2 u

\frac{d}{d u} (u^{2})

Производная степенной функции:

\frac{d}{d x} (x^{a}) = a \cdot x^{a - 1}

= 2 u^{2 - 1}

После упрощения получаем

= 2 u

\frac{d}{d u} (1.52137 \dots u) = 1.52137 \dots

\frac{d}{d u} (1.52137 \dots u)

Производная переменной и множителя:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 1.52137 \dots \frac{d u}{d u}

Воспользуемся таблицей производных элементарных функций :

\frac{d u}{d u} = 1

= 1.52137 \dots \cdot 1

После упрощения получаем

= 1.52137 \dots

\frac{d}{d u} (1.31459 \dots) = 0

\frac{d}{d u} (1.31459 \dots)

Производная постоянной:

\frac{d}{d x} (a) = 0

= 0

= 2 u - 1.52137 \dots + 0

После упрощения получаем

= 2 u - 1.52137 \dots

Пусть

u_{0} = 1

Вычислите

u_{n + 1}

до момента

Δ u_{n + 1} < 0.000001

u_{1} = - 0.65729 \dots : Δ u_{1} = 1.65729 \dots

f (u_{0}) = 1^{2} - 1.52137 \dots \cdot 1 + 1.31459 \dots = 0.79321 \dots

f^{^{'}} (u_{0}) = 2 \cdot 1 - 1.52137 \dots = 0.47862 \dots

u_{1} = - 0.65729 \dots

Δ u_{1} = ∣ - 0.65729 \dots - 1 ∣ = 1.65729 \dots

Δ u_{1} = 1.65729 \dots

u_{2} = 0.31119 \dots : Δ u_{2} = 0.96849 \dots

f (u_{1}) = (- 0.65729 \dots)^{2} - 1.52137 \dots (- 0.65729 \dots) + 1.31459 \dots = 2.74663 \dots

f^{^{'}} (u_{1}) = 2 (- 0.65729 \dots) - 1.52137 \dots = - 2.83597 \dots

u_{2} = 0.31119 \dots

Δ u_{2} = ∣ 0.31119 \dots - (- 0.65729 \dots) ∣ = 0.96849 \dots

Δ u_{2} = 0.96849 \dots

u_{3} = 1.35459 \dots : Δ u_{3} = 1.04339 \dots

f (u_{2}) = 0.31119 \dots^{2} - 1.52137 \dots \cdot 0.31119 \dots + 1.31459 \dots = 0.93798 \dots

f^{^{'}} (u_{2}) = 2 \cdot 0.31119 \dots - 1.52137 \dots = - 0.89897 \dots

u_{3} = 1.35459 \dots

Δ u_{3} = ∣ 1.35459 \dots - 0.31119 \dots ∣ = 1.04339 \dots

Δ u_{3} = 1.04339 \dots

u_{4} = 0.43805 \dots : Δ u_{4} = 0.91653 \dots

f (u_{3}) = 1.35459 \dots^{2} - 1.52137 \dots \cdot 1.35459 \dots + 1.31459 \dots = 1.08866 \dots

f^{^{'}} (u_{3}) = 2 \cdot 1.35459 \dots - 1.52137 \dots = 1.18780 \dots

u_{4} = 0.43805 \dots

Δ u_{4} = ∣ 0.43805 \dots - 1.35459 \dots ∣ = 0.91653 \dots

Δ u_{4} = 0.91653 \dots

u_{5} = 1.73989 \dots : Δ u_{5} = 1.30184 \dots

f (u_{4}) = 0.43805 \dots^{2} - 1.52137 \dots \cdot 0.43805 \dots + 1.31459 \dots = 0.84004 \dots

f^{^{'}} (u_{4}) = 2 \cdot 0.43805 \dots - 1.52137 \dots = - 0.64527 \dots

u_{5} = 1.73989 \dots

Δ u_{5} = ∣ 1.73989 \dots - 0.43805 \dots ∣ = 1.30184 \dots

Δ u_{5} = 1.30184 \dots

u_{6} = 0.87450 \dots : Δ u_{6} = 0.86539 \dots

f (u_{5}) = 1.73989 \dots^{2} - 1.52137 \dots \cdot 1.73989 \dots + 1.31459 \dots = 1.69479 \dots

f^{^{'}} (u_{5}) = 2 \cdot 1.73989 \dots - 1.52137 \dots = 1.95841 \dots

u_{6} = 0.87450 \dots

Δ u_{6} = ∣ 0.87450 \dots - 1.73989 \dots ∣ = 0.86539 \dots

Δ u_{6} = 0.86539 \dots

u_{7} = - 2.41546 \dots : Δ u_{7} = 3.28996 \dots

f (u_{6}) = 0.87450 \dots^{2} - 1.52137 \dots \cdot 0.87450 \dots + 1.31459 \dots = 0.74890 \dots

f^{^{'}} (u_{6}) = 2 \cdot 0.87450 \dots - 1.52137 \dots = 0.22763 \dots

u_{7} = - 2.41546 \dots

Δ u_{7} = ∣ - 2.41546 \dots - 0.87450 \dots ∣ = 3.28996 \dots

Δ u_{7} = 3.28996 \dots

u_{8} = - 0.71153 \dots : Δ u_{8} = 1.70393 \dots

f (u_{7}) = (- 2.41546 \dots)^{2} - 1.52137 \dots (- 2.41546 \dots) + 1.31459 \dots = 10.82387 \dots

f^{^{'}} (u_{7}) = 2 (- 2.41546 \dots) - 1.52137 \dots = - 6.35230 \dots

u_{8} = - 0.71153 \dots

Δ u_{8} = ∣ - 0.71153 \dots - (- 2.41546 \dots) ∣ = 1.70393 \dots

Δ u_{8} = 1.70393 \dots

u_{9} = 0.27452 \dots : Δ u_{9} = 0.98605 \dots

f (u_{8}) = (- 0.71153 \dots)^{2} - 1.52137 \dots (- 0.71153 \dots) + 1.31459 \dots = 2.90337 \dots

f^{^{'}} (u_{8}) = 2 (- 0.71153 \dots) - 1.52137 \dots = - 2.94443 \dots

u_{9} = 0.27452 \dots

Δ u_{9} = ∣ 0.27452 \dots - (- 0.71153 \dots) ∣ = 0.98605 \dots

Δ u_{9} = 0.98605 \dots

u_{10} = 1.27449 \dots : Δ u_{10} = 0.99997 \dots

f (u_{9}) = 0.27452 \dots^{2} - 1.52137 \dots \cdot 0.27452 \dots + 1.31459 \dots = 0.97230 \dots

f^{^{'}} (u_{9}) = 2 \cdot 0.27452 \dots - 1.52137 \dots = - 0.97233 \dots

u_{10} = 1.27449 \dots

Δ u_{10} = ∣ 1.27449 \dots - 0.27452 \dots ∣ = 0.99997 \dots

Δ u_{10} = 0.99997 \dots

Невозможно найти решение

Решение

u \approx - 1.52137 \dots

Решениями являются

u = 0, u \approx - 1.52137 \dots

u = 0, u \approx - 1.52137 \dots

Проверьте решения

Найти неопределенные (сингулярные) точки:

u = 1, u = - 1

Возьмите знаменатель(и)

\frac{2 u}{1 - u ^{2}}

и сравните с нулем

Решить

1 - u^{2} = 0 : u = 1, u = - 1

1 - u^{2} = 0

Переместите

1

вправо

1 - u^{2} = 0

Вычтите

1

с обеих сторон

1 - u^{2} - 1 = 0 - 1

После упрощения получаем

- u^{2} = - 1

- u^{2} = - 1

Разделите обе стороны на

- 1

- u^{2} = - 1

Разделите обе стороны на

- 1

\frac{- u ^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

После упрощения получаем

u^{2} = 1

u^{2} = 1

Для

x^{2} = f (a)

решениями являются

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Примените правило радикалов:

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Примените правило радикалов:

1 = 1

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

Следующие точки не определены

u = 1, u = - 1

Объедините неопределенные точки с решениями:

u = 0, u \approx - 1.52137 \dots

Делаем обратную замену

u = tan (a)

tan (a) = 0, tan (a) \approx - 1.52137 \dots

tan (a) = 0, tan (a) \approx - 1.52137 \dots

tan (a) = 0 : a = πn

tan (a) = 0

Общие решения для

tan (a) = 0

tan (x)

таблица периодичности с циклом

πn

a = 0 + πn

a = 0 + πn

Решить

a = 0 + πn : a = πn

a = 0 + πn

0 + πn = πn

a = πn

a = πn

tan (a) = - 1.52137 \dots : a = arctan (- 1.52137 \dots) + πn

tan (a) = - 1.52137 \dots

Примените обратные тригонометрические свойства

tan (a) = - 1.52137 \dots

Общие решения для

tan (a) = - 1.52137 \dots

tan (x) = - a \Rightarrow x = arctan (- a) + πn

a = arctan (- 1.52137 \dots) + πn

a = arctan (- 1.52137 \dots) + πn

Объедините все решения

a = πn, a = arctan (- 1.52137 \dots) + πn

Покажите решения в десятичной форме

a = πn, a = - 0.98930 \dots + πn

Решение

Решение

График

Популярные примеры