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Beliebt Trigonometrie >

1+cos^2(x)=sin^4(x)

Lösung

1 + cos^{2} (x) = sin^{4} (x)

Lösung

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Grad

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

1 + cos^{2} (x) = sin^{4} (x)

Subtrahiere

sin^{4} (x)

von beiden Seiten

1 + cos^{2} (x) - sin^{4} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 + cos^{2} (x) - sin^{4} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 1 + 1 - sin^{2} (x) - sin^{4} (x)

Vereinfache

= - sin^{4} (x) - sin^{2} (x) + 2

2 - sin^{2} (x) - sin^{4} (x) = 0

Löse mit Substitution

2 - sin^{2} (x) - sin^{4} (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

2 - u^{2} - u^{4} = 0

2 - u^{2} - u^{4} = 0 : u = 2 i, u = - 2 i, u = 1, u = - 1

2 - u^{2} - u^{4} = 0

Schreibe in der Standard Form

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

- u^{4} - u^{2} + 2 = 0

Schreibe die Gleichung um mit

v = u^{2}

und

v^{2} = u^{4}

- v^{2} - v + 2 = 0

Löse

- v^{2} - v + 2 = 0 : v = - 2, v = 1

- v^{2} - v + 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- v^{2} - v + 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 1, b = - 1, c = 2

v_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 2}{2 ( - 1 )}

v_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 2}{2 ( - 1 )}

(- 1)^{2} - 4 (- 1) \cdot 2 = 3

(- 1)^{2} - 4 (- 1) \cdot 2

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 2

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

4 \cdot 1 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

= 8

= 1 + 8

Addiere die Zahlen:

1 + 8 = 9

= 9

Faktorisiere die Zahl:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 3

v_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 3}{2 ( - 1 )}

Trenne die Lösungen

v_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 3}{2 ( - 1 )}, v_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 3}{2 ( - 1 )}

v = \frac{- ( - 1 ) + 3}{2 ( - 1 )} : - 2

\frac{- ( - 1 ) + 3}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 + 3}{- 2 \cdot 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 3 = 4

= \frac{4}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{4}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{4}{2} = 2

= - 2

v = \frac{- ( - 1 ) - 3}{2 ( - 1 )} : 1

\frac{- ( - 1 ) - 3}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 - 3}{- 2 \cdot 1}

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 3 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

v = - 2, v = 1

v = - 2, v = 1

Setze

v = u^{2} w i e d er e in,

löse für

u

Löse

u^{2} = - 2 : u = 2 i, u = - 2 i

u^{2} = - 2

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = - 2, u = - - 2

Vereinfache

- 2 : 2 i

- 2

Wende Radikal Regel an:

- a = - 1 a

- 2 = - 1 2

= - 1 2

Wende imaginäre Zahlenregel an:

- 1 = i

= 2 i

Vereinfache

- - 2 : - 2 i

- - 2

Vereinfache

- 2 : 2 i

- 2

Wende Radikal Regel an:

- a = - 1 a

- 2 = - 1 2

= - 1 2

Wende imaginäre Zahlenregel an:

- 1 = i

= 2 i

= - 2 i

u = 2 i, u = - 2 i

Löse

u^{2} = 1 : u = 1, u = - 1

u^{2} = 1

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Wende Regel an

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Wende Regel an

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

Die Lösungen sind

u = 2 i, u = - 2 i, u = 1, u = - 1

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = 2 i, sin (x) = - 2 i, sin (x) = 1, sin (x) = - 1

sin (x) = 2 i, sin (x) = - 2 i, sin (x) = 1, sin (x) = - 1

sin (x) = 2 i :

Keine Lösung

sin (x) = 2 i

Keine L \overset{o}{¨} sung

sin (x) = - 2 i :

Keine Lösung

sin (x) = - 2 i

Keine L \overset{o}{¨} sung

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

Allgemeine Lösung für

sin (x) = 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = - 1

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Graph

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