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Beliebt Trigonometrie >

csc^2(x)=sec(x)

Lösung

csc^{2} (x) = sec (x)

Lösung

x = 0.90455 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.90455 \dots + 2 πn

Grad

x = 51.82729 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 308.17270 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

csc^{2} (x) = sec (x)

Subtrahiere

sec (x)

von beiden Seiten

csc^{2} (x) - sec (x) = 0

Drücke mit sin, cos aus

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} - \frac{1}{cos ( x )} = 0

Vereinfache

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} - \frac{1}{cos ( x )} : \frac{cos ( x ) - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} - \frac{1}{cos ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )} - \frac{1}{cos ( x )}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

sin^{2} (x), cos (x) : sin^{2} (x) cos (x)

sin^{2} (x), cos (x)

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

sin^{2} (x)

oder

cos (x)

auftauchen.

= sin^{2} (x) cos (x)

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

sin^{2} (x) cos (x)

Für

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

cos (x)

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} = \frac{1 \cdot cos ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ( x )} = \frac{cos ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ( x )}

Für

\frac{1}{cos ( x )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

sin^{2} (x)

\frac{1}{cos ( x )} = \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ^{2} ( x )} = \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ( x )} - \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( x ) - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ( x )}

\frac{cos ( x ) - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos (x) - sin^{2} (x) = 0

Füge

sin^{2} (x)

zu beiden Seiten hinzu

cos (x) = sin^{2} (x)

Quadriere beide Seiten

cos^{2} (x) = (sin^{2} (x))^{2}

Subtrahiere

(sin^{2} (x))^{2}

von beiden Seiten

cos^{2} (x) - sin^{4} (x) = 0

Faktorisiere

cos^{2} (x) - sin^{4} (x) : (cos (x) + sin^{2} (x)) (cos (x) - sin^{2} (x))

cos^{2} (x) - sin^{4} (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

sin^{4} (x) = (sin^{2} (x))^{2}

= cos^{2} (x) - (sin^{2} (x))^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

cos^{2} (x) - (sin^{2} (x))^{2} = (cos (x) + sin^{2} (x)) (cos (x) - sin^{2} (x))

= (cos (x) + sin^{2} (x)) (cos (x) - sin^{2} (x))

(cos (x) + sin^{2} (x)) (cos (x) - sin^{2} (x)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

cos (x) + sin^{2} (x) = 0 or cos (x) - sin^{2} (x) = 0

cos (x) + sin^{2} (x) = 0 : x = arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

cos (x) + sin^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (x) + sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= cos (x) + 1 - cos^{2} (x)

1 + cos (x) - cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

1 + cos (x) - cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

1 + u - u^{2} = 0

1 + u - u^{2} = 0 : u = - \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{1 + 5}{2}

1 + u - u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} + u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- u^{2} + u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 1, b = 1, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

1^{2} - 4 (- 1) \cdot 1 = 5

1^{2} - 4 (- 1) \cdot 1

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 (- 1) \cdot 1

Wende Regel an

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 1 + 4

Addiere die Zahlen:

1 + 4 = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 5}{2 ( - 1 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 1 + 5}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- 1 - 5}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- 1 + 5}{2 ( - 1 )} : - \frac{- 1 + 5}{2}

\frac{- 1 + 5}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 1 + 5}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 + 5}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 1 + 5}{2}

u = \frac{- 1 - 5}{2 ( - 1 )} : \frac{1 + 5}{2}

\frac{- 1 - 5}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 1 - 5}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 - 5}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 1 - 5 = - (1 + 5)

= \frac{1 + 5}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{1 + 5}{2}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{2}, cos (x) = \frac{1 + 5}{2}

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{2}, cos (x) = \frac{1 + 5}{2}

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{2} : x = arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{2}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{2}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1 + 5}{2} :

Keine Lösung

cos (x) = \frac{1 + 5}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

cos (x) - sin^{2} (x) = 0 : x = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

cos (x) - sin^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (x) - sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= cos (x) - (1 - cos^{2} (x))

- (1 - cos^{2} (x)) : - 1 + cos^{2} (x)

- (1 - cos^{2} (x))

Setze Klammern

= - (1) - (- cos^{2} (x))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos^{2} (x)

= cos (x) - 1 + cos^{2} (x)

- 1 + cos (x) + cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

- 1 + cos (x) + cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

- 1 + u + u^{2} = 0

- 1 + u + u^{2} = 0 : u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{- 1 - 5}{2}

- 1 + u + u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} + u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} + u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = 1, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 5

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 1 + 4

Addiere die Zahlen:

1 + 4 = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 5}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1} : \frac{- 1 + 5}{2}

\frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 + 5}{2}

u = \frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1} : \frac{- 1 - 5}{2}

\frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 - 5}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{- 1 - 5}{2}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{2}, cos (x) = \frac{- 1 - 5}{2}

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{2}, cos (x) = \frac{- 1 - 5}{2}

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{2} : x = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{2}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{2}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

x = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

cos (x) = \frac{- 1 - 5}{2} :

Keine Lösung

cos (x) = \frac{- 1 - 5}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

csc^{2} (x) = sec (x)

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn :

Falsch

arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1

csc^{2} (x) = sec (x)

ein, um zu lösen

csc^{2} (arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1) = sec (arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

1.61803 \dots = - 1.61803 \dots

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

- arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn :

Falsch

- arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

- arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1

Setze

x = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1

csc^{2} (x) = sec (x)

ein, um zu lösen

csc^{2} (- arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1) = sec (- arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

1.61803 \dots = - 1.61803 \dots

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn :

Wahr

arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1

csc^{2} (x) = sec (x)

ein, um zu lösen

csc^{2} (arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1) = sec (arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

1.61803 \dots = 1.61803 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn :

Wahr

2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1

Setze

x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1

csc^{2} (x) = sec (x)

ein, um zu lösen

csc^{2} (2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1) = sec (2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

1.61803 \dots = 1.61803 \dots

\Rightarrow Wahr

x = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 0.90455 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.90455 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

(2cos(x)-sin^2(x))=1+cos^2(x)

(2 cos (x) - sin^{2} (x)) = 1 + cos^{2} (x)

6cos^3(x)+cos^2(x)-1=0

6 cos^{3} (x) + cos^{2} (x) - 1 = 0

4tan^2(x)+12tan(x)-27=0

4 tan^{2} (x) + 12 tan (x) - 27 = 0

sin^2(x)-cos(x)= 1/4

sin^{2} (x) - cos (x) = \frac{1}{4}

cos^4(a)=3+4cos^2(a)+cos^4(a)

cos^{4} (a) = 3 + 4 cos^{2} (a) + cos^{4} (a)