English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Популярное Тригонометрия >

2cos(2x)=4cos(x)

Решение

2 cos (2 x) = 4 cos (x)

Решение

x = 1.94553 \dots + 2 πn, x = - 1.94553 \dots + 2 πn

Градусы

x = 111.47070 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 111.47070 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Шаги решения

2 cos (2 x) = 4 cos (x)

Вычтите

4 cos (x)

с обеих сторон

2 cos (2 x) - 4 cos (x) = 0

Перепишите используя тригонометрические тождества

2 cos (2 x) - 4 cos (x)

Используйте тождество двойного угла:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 2 (2 cos^{2} (x) - 1) - 4 cos (x)

(- 1 + 2 cos^{2} (x)) \cdot 2 - 4 cos (x) = 0

Решитe подстановкой

(- 1 + 2 cos^{2} (x)) \cdot 2 - 4 cos (x) = 0

Допустим:

cos (x) = u

(- 1 + 2 u^{2}) \cdot 2 - 4 u = 0

(- 1 + 2 u^{2}) \cdot 2 - 4 u = 0 : u = \frac{1 + 3}{2}, u = \frac{1 - 3}{2}

(- 1 + 2 u^{2}) \cdot 2 - 4 u = 0

Расширьте

(- 1 + 2 u^{2}) \cdot 2 - 4 u : - 2 + 4 u^{2} - 4 u

(- 1 + 2 u^{2}) \cdot 2 - 4 u

= 2 (- 1 + 2 u^{2}) - 4 u

Расширить

2 (- 1 + 2 u^{2}) : - 2 + 4 u^{2}

2 (- 1 + 2 u^{2})

Примените распределительный закон:

a (b + c) = ab + a c

a = 2, b = - 1, c = 2 u^{2}

= 2 (- 1) + 2 \cdot 2 u^{2}

Применение правил минус-плюс

+ (- a) = - a

= - 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 u^{2}

Упростить

- 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 u^{2} : - 2 + 4 u^{2}

- 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 u^{2}

Перемножьте числа:

2 \cdot 1 = 2

= - 2 + 2 \cdot 2 u^{2}

Перемножьте числа:

2 \cdot 2 = 4

= - 2 + 4 u^{2}

= - 2 + 4 u^{2}

= - 2 + 4 u^{2} - 4 u

- 2 + 4 u^{2} - 4 u = 0

Запишите в стандартной форме

a x^{2} + b x + c = 0

4 u^{2} - 4 u - 2 = 0

Решите с помощью квадратичной формулы

4 u^{2} - 4 u - 2 = 0

Формула квадратного уравнения:

Для

a = 4, b = - 4, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 2 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 2 )}{2 \cdot 4}

(- 4)^{2} - 4 \cdot 4 (- 2) = 43

(- 4)^{2} - 4 \cdot 4 (- 2)

Примените правило

- (- a) = a

= (- 4)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

Примените правило возведения в степень:

(- a)^{n} = a^{n},

если

n

четное

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

Перемножьте числа:

4 \cdot 4 \cdot 2 = 32

= 4^{2} + 32

4^{2} = 16

= 16 + 32

Добавьте числа:

16 + 32 = 48

= 48

Первичное разложение на множители

48 : 2^{4} \cdot 3

48

48

делится на

248 = 24 \cdot 2

= 2 \cdot 24

24

делится на

224 = 12 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 12

12

делится на

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 6

6

делится на

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

являеются простыми числами, поэтому дальнейшее разложение на множители невозможно

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{4} \cdot 3

= 2^{4} \cdot 3

Примените правило радикалов:

n ab = n a n b

= 3 2^{4}

Примените правило радикалов:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 3

Уточнить

= 43

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 4 3}{2 \cdot 4}

Разделите решения

u_{1} = \frac{- ( - 4 ) + 4 3}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- ( - 4 ) - 4 3}{2 \cdot 4}

u = \frac{- ( - 4 ) + 4 3}{2 \cdot 4} : \frac{1 + 3}{2}

\frac{- ( - 4 ) + 4 3}{2 \cdot 4}

Примените правило

- (- a) = a

= \frac{4 + 4 3}{2 \cdot 4}

Перемножьте числа:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{4 + 4 3}{8}

коэффициент

4 + 43 : 4 (1 + 3)

4 + 43

Перепишите как

= 4 \cdot 1 + 43

Убрать общее значение

4

= 4 (1 + 3)

= \frac{4 ( 1 + 3 )}{8}

Отмените общий множитель:

4

= \frac{1 + 3}{2}

u = \frac{- ( - 4 ) - 4 3}{2 \cdot 4} : \frac{1 - 3}{2}

\frac{- ( - 4 ) - 4 3}{2 \cdot 4}

Примените правило

- (- a) = a

= \frac{4 - 4 3}{2 \cdot 4}

Перемножьте числа:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{4 - 4 3}{8}

коэффициент

4 - 43 : 4 (1 - 3)

4 - 43

Перепишите как

= 4 \cdot 1 - 43

Убрать общее значение

4

= 4 (1 - 3)

= \frac{4 ( 1 - 3 )}{8}

Отмените общий множитель:

4

= \frac{1 - 3}{2}

Решением квадратного уравнения являются:

u = \frac{1 + 3}{2}, u = \frac{1 - 3}{2}

Делаем обратную замену

u = cos (x)

cos (x) = \frac{1 + 3}{2}, cos (x) = \frac{1 - 3}{2}

cos (x) = \frac{1 + 3}{2}, cos (x) = \frac{1 - 3}{2}

cos (x) = \frac{1 + 3}{2} :

Не имеет решения

cos (x) = \frac{1 + 3}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Не имеет решения

cos (x) = \frac{1 - 3}{2} : x = arccos (\frac{1 - 3}{2}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 3}{2}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1 - 3}{2}

Примените обратные тригонометрические свойства

cos (x) = \frac{1 - 3}{2}

Общие решения для

cos (x) = \frac{1 - 3}{2}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (\frac{1 - 3}{2}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 3}{2}) + 2 πn

x = arccos (\frac{1 - 3}{2}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 3}{2}) + 2 πn

Объедините все решения

x = arccos (\frac{1 - 3}{2}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 3}{2}) + 2 πn

Покажите решения в десятичной форме

x = 1.94553 \dots + 2 πn, x = - 1.94553 \dots + 2 πn

Решение

Решение

График

Популярные примеры