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Beliebt Trigonometrie >

-csc(θ)+5=cot(θ)+6

Lösung

- csc (θ) + 5 = cot (θ) + 6

Lösung

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Grad

θ = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

- csc (θ) + 5 = cot (θ) + 6

Subtrahiere

cot (θ) + 6

von beiden Seiten

- csc (θ) - cot (θ) - 1 = 0

Drücke mit sin, cos aus

- \frac{1}{sin ( θ )} - \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} - 1 = 0

Vereinfache

- \frac{1}{sin ( θ )} - \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} - 1 : \frac{- 1 - cos ( θ ) - sin ( θ )}{sin ( θ )}

- \frac{1}{sin ( θ )} - \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} - 1

Ziehe Brüche zusammen

- \frac{1}{sin ( θ )} - \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} : \frac{- 1 - cos ( θ )}{sin ( θ )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 - cos ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{- cos ( θ ) - 1}{sin ( θ )} - 1

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{- 1 - cos ( θ )}{sin ( θ )} - \frac{1 \cdot sin ( θ )}{sin ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 - cos ( θ ) - 1 \cdot sin ( θ )}{sin ( θ )}

Multipliziere:

1 \cdot sin (θ) = sin (θ)

= \frac{- 1 - cos ( θ ) - sin ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{- 1 - cos ( θ ) - sin ( θ )}{sin ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- 1 - cos (θ) - sin (θ) = 0

Füge

sin (θ)

zu beiden Seiten hinzu

- 1 - cos (θ) = sin (θ)

Quadriere beide Seiten

(- 1 - cos (θ))^{2} = sin^{2} (θ)

Subtrahiere

sin^{2} (θ)

von beiden Seiten

(- 1 - cos (θ))^{2} - sin^{2} (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

(- 1 - cos (θ))^{2} - sin^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (- 1 - cos (θ))^{2} - (1 - cos^{2} (θ))

Vereinfache

(- 1 - cos (θ))^{2} - (1 - cos^{2} (θ)) : 2 cos^{2} (θ) + 2 cos (θ)

(- 1 - cos (θ))^{2} - (1 - cos^{2} (θ))

(- 1 - cos (θ))^{2} : 1 + 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = - 1, b = cos (θ)

= (- 1)^{2} - 2 (- 1) cos (θ) + cos^{2} (θ)

Vereinfache

(- 1)^{2} - 2 (- 1) cos (θ) + cos^{2} (θ) : 1 + 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)

(- 1)^{2} - 2 (- 1) cos (θ) + cos^{2} (θ)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 2 \cdot 1 \cdot cos (θ) + cos^{2} (θ)

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

2 \cdot 1 \cdot cos (θ) = 2 cos (θ)

2 \cdot 1 \cdot cos (θ)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 2 cos (θ)

= 1 + 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)

= 1 + 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)

= 1 + 2 cos (θ) + cos^{2} (θ) - (1 - cos^{2} (θ))

- (1 - cos^{2} (θ)) : - 1 + cos^{2} (θ)

- (1 - cos^{2} (θ))

Setze Klammern

= - (1) - (- cos^{2} (θ))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos^{2} (θ)

= 1 + 2 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 1 + cos^{2} (θ)

Vereinfache

1 + 2 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 1 + cos^{2} (θ) : 2 cos^{2} (θ) + 2 cos (θ)

1 + 2 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 1 + cos^{2} (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 cos (θ) + cos^{2} (θ) + cos^{2} (θ) + 1 - 1

Addiere gleiche Elemente:

cos^{2} (θ) + cos^{2} (θ) = 2 cos^{2} (θ)

= 2 cos (θ) + 2 cos^{2} (θ) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 cos^{2} (θ) + 2 cos (θ)

= 2 cos^{2} (θ) + 2 cos (θ)

= 2 cos^{2} (θ) + 2 cos (θ)

2 cos (θ) + 2 cos^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

2 cos (θ) + 2 cos^{2} (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

2 u + 2 u^{2} = 0

2 u + 2 u^{2} = 0 : u = 0, u = - 1

2 u + 2 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} + 2 u = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} + 2 u = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = 2, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0}{2 \cdot 2}

2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0 = 2

2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 2^{2} - 0

2^{2} - 0 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a,

angenommen

a \geq 0

= 2

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 2 + 2}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- 2 - 2}{2 \cdot 2}

u = \frac{- 2 + 2}{2 \cdot 2} : 0

\frac{- 2 + 2}{2 \cdot 2}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 2 + 2 = 0

= \frac{0}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{0}{4}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

u = \frac{- 2 - 2}{2 \cdot 2} : - 1

\frac{- 2 - 2}{2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

- 2 - 2 = - 4

= \frac{- 4}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 4}{4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{4}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 0, u = - 1

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = 0, cos (θ) = - 1

cos (θ) = 0, cos (θ) = - 1

cos (θ) = 0 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) = - 1 : θ = π + 2 πn

cos (θ) = - 1

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = π + 2 πn

θ = π + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = π + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

- csc (θ) + 5 = cot (θ) + 6

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

\frac{π}{2} + 2 πn :

Falsch

\frac{π}{2} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

Setze

θ = \frac{π}{2} + 2 π 1

- csc (θ) + 5 = cot (θ) + 6

ein, um zu lösen

- csc (\frac{π}{2} + 2 π 1) + 5 = cot (\frac{π}{2} + 2 π 1) + 6

Fasse zusammen

4 = 6

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

\frac{3 π}{2} + 2 πn :

Wahr

\frac{3 π}{2} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{3 π}{2} + 2 π 1

Setze

θ = \frac{3 π}{2} + 2 π 1

- csc (θ) + 5 = cot (θ) + 6

ein, um zu lösen

- csc (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) + 5 = cot (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) + 6

Fasse zusammen

6 = 6

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π + 2 πn :

Wahr

π + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + 2 π 1

Setze

θ = π + 2 π 1

- csc (θ) + 5 = cot (θ) + 6

ein, um zu lösen

- csc (π + 2 π 1) + 5 = cot (π + 2 π 1) + 6

Fasse zusammen

- \infty = - \infty

\Rightarrow Wahr

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = π + 2 πn

Da die Gleichung undefiniert ist für:

π + 2 πn

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

2sin^2(x)-3=cos(x)-2

2 sin^{2} (x) - 3 = cos (x) - 2

cos(x/2)=1-cos(x/2)

cos (\frac{x}{2}) = 1 - cos (\frac{x}{2})

3=4-2sin(θ)

3 = 4 - 2 sin (θ)

sin(((t^2))/2)=-1

sin (\frac{( t ^{2} )}{2}) = - 1

9sin^2(x)tan(x)=4tan(x)

9 sin^{2} (x) tan (x) = 4 tan (x)