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Beliebt Trigonometrie >

cos(2x)-5cos(x)-1=0

Lösung

cos (2 x) - 5 cos (x) - 1 = 0

Lösung

x = 1.92920 \dots + 2 πn, x = - 1.92920 \dots + 2 πn

Grad

x = 110.53509 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 110.53509 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos (2 x) - 5 cos (x) - 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 + cos (2 x) - 5 cos (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= - 1 + 2 cos^{2} (x) - 1 - 5 cos (x)

Vereinfache

- 1 + 2 cos^{2} (x) - 1 - 5 cos (x) : 2 cos^{2} (x) - 5 cos (x) - 2

- 1 + 2 cos^{2} (x) - 1 - 5 cos (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 cos^{2} (x) - 5 cos (x) - 1 - 1

Subtrahiere die Zahlen:

- 1 - 1 = - 2

= 2 cos^{2} (x) - 5 cos (x) - 2

= 2 cos^{2} (x) - 5 cos (x) - 2

- 2 + 2 cos^{2} (x) - 5 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

- 2 + 2 cos^{2} (x) - 5 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

- 2 + 2 u^{2} - 5 u = 0

- 2 + 2 u^{2} - 5 u = 0 : u = \frac{5 + 41}{4}, u = \frac{5 - 41}{4}

- 2 + 2 u^{2} - 5 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} - 5 u - 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} - 5 u - 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = - 5, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 2 )}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 2 )}{2 \cdot 2}

(- 5)^{2} - 4 \cdot 2 (- 2) = 41

(- 5)^{2} - 4 \cdot 2 (- 2)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 5)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 2

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 5)^{2} = 5^{2}

= 5^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 2 = 16

= 5^{2} + 16

5^{2} = 25

= 25 + 16

Addiere die Zahlen:

25 + 16 = 41

= 41

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm 41}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 5 ) + 41}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 5 ) - 41}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 5 ) + 41}{2 \cdot 2} : \frac{5 + 41}{4}

\frac{- ( - 5 ) + 41}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{5 + 41}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{5 + 41}{4}

u = \frac{- ( - 5 ) - 41}{2 \cdot 2} : \frac{5 - 41}{4}

\frac{- ( - 5 ) - 41}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{5 - 41}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{5 - 41}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{5 + 41}{4}, u = \frac{5 - 41}{4}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{5 + 41}{4}, cos (x) = \frac{5 - 41}{4}

cos (x) = \frac{5 + 41}{4}, cos (x) = \frac{5 - 41}{4}

cos (x) = \frac{5 + 41}{4} :

Keine Lösung

cos (x) = \frac{5 + 41}{4}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = \frac{5 - 41}{4} : x = arccos (\frac{5 - 41}{4}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{5 - 41}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{5 - 41}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{5 - 41}{4}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{5 - 41}{4}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (\frac{5 - 41}{4}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{5 - 41}{4}) + 2 πn

x = arccos (\frac{5 - 41}{4}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{5 - 41}{4}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (\frac{5 - 41}{4}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{5 - 41}{4}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 1.92920 \dots + 2 πn, x = - 1.92920 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

3+3cos(θ)=3

3 + 3 cos (θ) = 3

csc^2(x)=3csc(x)+4

csc^{2} (x) = 3 csc (x) + 4

4cot(2θ)=0

4 cot (2 θ) = 0

sin(60)=cos(x+10)

sin (6 0^{\circ}) = cos (x + 1 0^{\circ})

sin(2x)=682

sin (2 x) = 682