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Beliebt Trigonometrie >

(sin(x))/(1+cos(x))=3cot(x/2)

Lösung

\frac{sin ( x )}{1 + cos ( x )} = 3 cot (\frac{x}{2})

Lösung

x = π + 4 πn, x = 3 π + 4 πn, x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Grad

x = 18 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n, x = 54 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n, x = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

\frac{sin ( x )}{1 + cos ( x )} = 3 cot (\frac{x}{2})

Subtrahiere

3 cot (\frac{x}{2})

von beiden Seiten

\frac{sin ( x )}{1 + cos ( x )} - 3 cot (\frac{x}{2}) = 0

Vereinfache

\frac{sin ( x )}{1 + cos ( x )} - 3 cot (\frac{x}{2}) : \frac{sin ( x ) - 3 cot ( \frac{x}{2} ) ( 1 + cos ( x ) )}{1 + cos ( x )}

\frac{sin ( x )}{1 + cos ( x )} - 3 cot (\frac{x}{2})

Wandle das Element in einen Bruch um:

3 cot (\frac{x}{2}) = \frac{3 cot ( \frac{x}{2} ) ( 1 + cos ( x ) )}{1 + cos ( x )}

= \frac{sin ( x )}{1 + cos ( x )} - \frac{3 cot ( \frac{x}{2} ) ( 1 + cos ( x ) )}{1 + cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( x ) - 3 cot ( \frac{x}{2} ) ( 1 + cos ( x ) )}{1 + cos ( x )}

\frac{sin ( x ) - 3 cot ( \frac{x}{2} ) ( 1 + cos ( x ) )}{1 + cos ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

sin (x) - 3 cot (\frac{x}{2}) (1 + cos (x)) = 0

Angenommen:

u = \frac{x}{2}

sin (2 u) - 3 cot (u) (1 + cos (2 u)) = 0

Drücke mit sin, cos aus

sin (2 u) - (1 + cos (2 u)) \cdot 3 cot (u)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= sin (2 u) - (1 + cos (2 u)) \cdot 3 \cdot \frac{cos ( u )}{sin ( u )}

Vereinfache

sin (2 u) - (1 + cos (2 u)) \cdot 3 \cdot \frac{cos ( u )}{sin ( u )} : \frac{sin ( 2 u ) sin ( u ) - 3 cos ( u ) ( 1 + cos ( 2 u ) )}{sin ( u )}

sin (2 u) - (1 + cos (2 u)) \cdot 3 \cdot \frac{cos ( u )}{sin ( u )}

Multipliziere

(1 + cos (2 u)) \cdot 3 \cdot \frac{cos ( u )}{sin ( u )} : \frac{3 cos ( u ) ( cos ( 2 u ) + 1 )}{sin ( u )}

(1 + cos (2 u)) \cdot 3 \cdot \frac{cos ( u )}{sin ( u )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{cos ( u ) ( 1 + cos ( 2 u ) ) \cdot 3}{sin ( u )}

= sin (2 u) - \frac{3 cos ( u ) ( cos ( 2 u ) + 1 )}{sin ( u )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

sin (2 u) = \frac{sin ( 2 u ) sin ( u )}{sin ( u )}

= \frac{sin ( 2 u ) sin ( u )}{sin ( u )} - \frac{cos ( u ) ( 1 + cos ( 2 u ) ) \cdot 3}{sin ( u )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( 2 u ) sin ( u ) - cos ( u ) ( 1 + cos ( 2 u ) ) \cdot 3}{sin ( u )}

= \frac{sin ( 2 u ) sin ( u ) - 3 cos ( u ) ( 1 + cos ( 2 u ) )}{sin ( u )}

\frac{sin ( 2 u ) sin ( u ) - ( 1 + cos ( 2 u ) ) \cdot 3 cos ( u )}{sin ( u )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

sin (2 u) sin (u) - (1 + cos (2 u)) \cdot 3 cos (u) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (2 u) sin (u) - (1 + cos (2 u)) \cdot 3 cos (u)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= 2 sin (u) cos (u) sin (u) - 3 cos (u) (1 + cos (2 u))

2 sin (u) cos (u) sin (u) = 2 sin^{2} (u) cos (u)

2 sin (u) cos (u) sin (u)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (u) sin (u) = sin^{1 + 1} (u)

= 2 cos (u) sin^{1 + 1} (u)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 2 cos (u) sin^{2} (u)

= 2 sin^{2} (u) cos (u) - 3 cos (u) (1 + cos (2 u))

- (1 + cos (2 u)) \cdot 3 cos (u) + 2 cos (u) sin^{2} (u) = 0

Faktorisiere

- (1 + cos (2 u)) \cdot 3 cos (u) + 2 cos (u) sin^{2} (u) : cos (u) (- 3 (1 + cos (2 u)) + 2 sin^{2} (u))

- (1 + cos (2 u)) \cdot 3 cos (u) + 2 cos (u) sin^{2} (u)

Klammere gleiche Terme aus

cos (u)

= cos (u) (- 3 (1 + cos (2 u)) + 2 sin^{2} (u))

cos (u) (- 3 (1 + cos (2 u)) + 2 sin^{2} (u)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

cos (u) = 0 or - 3 (1 + cos (2 u)) + 2 sin^{2} (u) = 0

cos (u) = 0 : u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (u) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (u) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

- 3 (1 + cos (2 u)) + 2 sin^{2} (u) = 0 : u = \frac{π}{3} + πn, u = \frac{2 π}{3} + πn

- 3 (1 + cos (2 u)) + 2 sin^{2} (u) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- (1 + cos (2 u)) \cdot 3 + 2 sin^{2} (u)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

1 - 2 sin^{2} (x) = cos (2 x)

- 2 sin^{2} (x) = cos (2 x) - 1

= - (cos (2 u) - 1) - 3 (1 + cos (2 u))

Vereinfache

- (cos (2 u) - 1) - 3 (1 + cos (2 u)) : - 4 cos (2 u) - 2

- (cos (2 u) - 1) - 3 (1 + cos (2 u))

- (cos (2 u) - 1) : - cos (2 u) + 1

- (cos (2 u) - 1)

Setze Klammern

= - (cos (2 u)) - (- 1)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - cos (2 u) + 1

= - cos (2 u) + 1 - 3 (1 + cos (2 u))

Multipliziere aus

- 3 (1 + cos (2 u)) : - 3 - 3 cos (2 u)

- 3 (1 + cos (2 u))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = - 3, b = 1, c = cos (2 u)

= - 3 \cdot 1 + (- 3) cos (2 u)

Wende Minus-Plus Regeln an

+ (- a) = - a

= - 3 \cdot 1 - 3 cos (2 u)

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 1 = 3

= - 3 - 3 cos (2 u)

= - cos (2 u) + 1 - 3 - 3 cos (2 u)

Vereinfache

- cos (2 u) + 1 - 3 - 3 cos (2 u) : - 4 cos (2 u) - 2

- cos (2 u) + 1 - 3 - 3 cos (2 u)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - cos (2 u) - 3 cos (2 u) + 1 - 3

Addiere gleiche Elemente:

- cos (2 u) - 3 cos (2 u) = - 4 cos (2 u)

= - 4 cos (2 u) + 1 - 3

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

1 - 3 = - 2

= - 4 cos (2 u) - 2

= - 4 cos (2 u) - 2

= - 4 cos (2 u) - 2

- 2 - 4 cos (2 u) = 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

- 2 - 4 cos (2 u) = 0

Füge

2

zu beiden Seiten hinzu

- 2 - 4 cos (2 u) + 2 = 0 + 2

Vereinfache

- 4 cos (2 u) = 2

- 4 cos (2 u) = 2

Teile beide Seiten durch

- 4

- 4 cos (2 u) = 2

Teile beide Seiten durch

- 4

\frac{- 4 cos ( 2 u )}{- 4} = \frac{2}{- 4}

Vereinfache

\frac{- 4 cos ( 2 u )}{- 4} = \frac{2}{- 4}

Vereinfache

\frac{- 4 cos ( 2 u )}{- 4} : cos (2 u)

\frac{- 4 cos ( 2 u )}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{4 cos ( 2 u )}{4}

Teile die Zahlen:

\frac{4}{4} = 1

= cos (2 u)

Vereinfache

\frac{2}{- 4} : - \frac{1}{2}

\frac{2}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{1}{2}

cos (2 u) = - \frac{1}{2}

cos (2 u) = - \frac{1}{2}

cos (2 u) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (2 u) = - \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

2 u = \frac{2 π}{3} + 2 πn, 2 u = \frac{4 π}{3} + 2 πn

2 u = \frac{2 π}{3} + 2 πn, 2 u = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Löse

2 u = \frac{2 π}{3} + 2 πn : u = \frac{π}{3} + πn

2 u = \frac{2 π}{3} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 u = \frac{2 π}{3} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 u}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= u

Vereinfache

\frac{\frac{2 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{π}{3} + πn

\frac{\frac{2 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{2 π}{3}}{2} = \frac{π}{3}

\frac{\frac{2 π}{3}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{2 π}{3 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 2 = 6

= \frac{2 π}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{π}{3}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{π}{3} + πn

u = \frac{π}{3} + πn

u = \frac{π}{3} + πn

u = \frac{π}{3} + πn

Löse

2 u = \frac{4 π}{3} + 2 πn : u = \frac{2 π}{3} + πn

2 u = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 u = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 u}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= u

Vereinfache

\frac{\frac{4 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{2 π}{3} + πn

\frac{\frac{4 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{4 π}{3}}{2} = \frac{2 π}{3}

\frac{\frac{4 π}{3}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{4 π}{3 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 2 = 6

= \frac{4 π}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{2 π}{3}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{2 π}{3} + πn

u = \frac{2 π}{3} + πn

u = \frac{2 π}{3} + πn

u = \frac{2 π}{3} + πn

u = \frac{π}{3} + πn, u = \frac{2 π}{3} + πn

Kombiniere alle Lösungen

u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{3 π}{2} + 2 πn, u = \frac{π}{3} + πn, u = \frac{2 π}{3} + πn

Setze in

u = \frac{x}{2}

ein

\frac{x}{2} = \frac{π}{2} + 2 πn : x = π + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{π}{2} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{x}{2} = \frac{π}{2} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn : π + 4 πn

2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot \frac{π}{2} = π

2 \cdot \frac{π}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{π 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= π

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

= π + 4 πn

x = π + 4 πn

x = π + 4 πn

x = π + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} + 2 πn : x = 3 π + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{3 π}{2} + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{3 π}{2} + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

2 \cdot \frac{3 π}{2} + 2 \cdot 2 πn : 3 π + 4 πn

2 \cdot \frac{3 π}{2} + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot \frac{3 π}{2} = 3 π

2 \cdot \frac{3 π}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 π 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 3 π

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

= 3 π + 4 πn

x = 3 π + 4 πn

x = 3 π + 4 πn

x = 3 π + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{π}{3} + πn : x = \frac{2 π}{3} + 2 πn

\frac{x}{2} = \frac{π}{3} + πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{x}{2} = \frac{π}{3} + πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{π}{3} + 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{π}{3} + 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

2 \cdot \frac{π}{3} + 2 πn : \frac{2 π}{3} + 2 πn

2 \cdot \frac{π}{3} + 2 πn

Multipliziere

2 \cdot \frac{π}{3} : \frac{2 π}{3}

2 \cdot \frac{π}{3}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{π 2}{3}

= \frac{2 π}{3} + 2 πn

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn

\frac{x}{2} = \frac{2 π}{3} + πn : x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

\frac{x}{2} = \frac{2 π}{3} + πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{x}{2} = \frac{2 π}{3} + πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{2 π}{3} + 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{2 π}{3} + 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

2 \cdot \frac{2 π}{3} + 2 πn : \frac{4 π}{3} + 2 πn

2 \cdot \frac{2 π}{3} + 2 πn

2 \cdot \frac{2 π}{3} = \frac{4 π}{3}

2 \cdot \frac{2 π}{3}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 π 2}{3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4 π}{3}

= \frac{4 π}{3} + 2 πn

x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

x = π + 4 πn, x = 3 π + 4 πn, x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Da die Gleichung undefiniert ist für:

π + 4 πn, 3 π + 4 πn

x = π + 4 πn, x = 3 π + 4 πn, x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(2x)=(sqrt(3))/2 ,0<= x<= 360

sin (2 x) = \frac{3}{2}, 0^{\circ} \leq x \leq 36 0^{\circ}

3sin^2(x)+8cos^2(x)=6

3 sin^{2} (x) + 8 cos^{2} (x) = 6

tan(θ)= 2/8

tan (θ) = \frac{2}{8}

4tan^2(x)+7tan(x)-4=0,cot(2x)

4 tan^{2} (x) + 7 tan (x) - 4 = 0, cot (2 x)

11.75=5sin((pit)/6-(7pi)/6)+8

11.75 = 5 sin (\frac{π t}{6} - \frac{7 π}{6}) + 8