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Beliebt Trigonometrie >

tanh(x)=0.99

Lösung

tanh (x) = 0.99

Lösung

x = \frac{1}{2} ln (199)

Grad

x = 151.64201 \dots^{\circ}

Schritte zur Lösung

tanh (x) = 0.99

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

tanh (x) = 0.99

Hyperbolische Identität anwenden:

tanh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} = 0.99

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} = 0.99

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} = 0.99 : x = \frac{1}{2} ln (199)

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} = 0.99

Multipliziere beide Seiten mit

e^{x} + e^{- x}

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} (e^{x} + e^{- x}) = 0.99 (e^{x} + e^{- x})

Vereinfache

e^{x} - e^{- x} = 0.99 (e^{x} + e^{- x})

Wende Exponentenregel an

e^{x} - e^{- x} = 0.99 (e^{x} + e^{- x})

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

e^{x} - (e^{x})^{- 1} = 0.99 (e^{x} + (e^{x})^{- 1})

e^{x} - (e^{x})^{- 1} = 0.99 (e^{x} + (e^{x})^{- 1})

Schreibe die Gleichung um mit

e^{x} = u

u - (u)^{- 1} = 0.99 (u + (u)^{- 1})

Löse

u - u^{- 1} = 0.99 (u + u^{- 1}) : u = 199, u = - 199

u - u^{- 1} = 0.99 (u + u^{- 1})

Fasse zusammen

u - \frac{1}{u} = 0.99 (u + \frac{1}{u})

Multipliziere beide Seiten mit

100

u - \frac{1}{u} = 0.99 (u + \frac{1}{u})

To eliminate decimal points, multiply by 10 for every digit after the decimal pointThere are

2

digits to the right of the decimal point, therefore multiply by

100

u \cdot 100 - \frac{1}{u} \cdot 100 = 0.99 (u + \frac{1}{u}) \cdot 100

Fasse zusammen

100 u - \frac{100}{u} = 99 (u + \frac{1}{u})

100 u - \frac{100}{u} = 99 (u + \frac{1}{u})

Multipliziere beide Seiten mit

u

100 u - \frac{100}{u} = 99 (u + \frac{1}{u})

Multipliziere beide Seiten mit

u

100 uu - \frac{100}{u} u = 99 (u + \frac{1}{u}) u

Vereinfache

100 uu - \frac{100}{u} u = 99 (u + \frac{1}{u}) u

Vereinfache

100 uu : 100 u^{2}

100 uu

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 100 u^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 100 u^{2}

Vereinfache

- \frac{100}{u} u : - 100

- \frac{100}{u} u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{100 u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= - 100

100 u^{2} - 100 = 99 (u + \frac{1}{u}) u

100 u^{2} - 100 = 99 (u + \frac{1}{u}) u

100 u^{2} - 100 = 99 (u + \frac{1}{u}) u

Schreibe

99 (u + \frac{1}{u}) u

um:

99 u^{2} + 99

99 (u + \frac{1}{u}) u

= 99 u (u + \frac{1}{u})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = 99 u, b = u, c = \frac{1}{u}

= 99 uu + 99 u \frac{1}{u}

= 99 uu + 99 \cdot \frac{1}{u} u

Vereinfache

99 uu + 99 \cdot \frac{1}{u} u : 99 u^{2} + 99

99 uu + 99 \cdot \frac{1}{u} u

99 uu = 99 u^{2}

99 uu

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 99 u^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 99 u^{2}

99 \cdot \frac{1}{u} u = 99

99 \cdot \frac{1}{u} u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 99 u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= 1 \cdot 99

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 99 = 99

= 99

= 99 u^{2} + 99

= 99 u^{2} + 99

100 u^{2} - 100 = 99 u^{2} + 99

Verschiebe

100

auf die rechte Seite

100 u^{2} - 100 = 99 u^{2} + 99

Füge

100

zu beiden Seiten hinzu

100 u^{2} - 100 + 100 = 99 u^{2} + 99 + 100

Vereinfache

100 u^{2} = 99 u^{2} + 199

100 u^{2} = 99 u^{2} + 199

Löse

100 u^{2} = 99 u^{2} + 199 : u = 199, u = - 199

100 u^{2} = 99 u^{2} + 199

Verschiebe

99 u^{2}

auf die linke Seite

100 u^{2} = 99 u^{2} + 199

Subtrahiere

99 u^{2}

von beiden Seiten

100 u^{2} - 99 u^{2} = 99 u^{2} + 199 - 99 u^{2}

Vereinfache

u^{2} = 199

u^{2} = 199

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = 199, u = - 199

u = 199, u = - 199

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

u - u^{- 1}

und vergleiche mit Null

u = 0

Nimm den/die Nenner von

0.99 (u + u^{- 1})

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = 199, u = - 199

u = 199, u = - 199

Setze

u = e^{x} w i e d er e in,

löse für

x

Löse

e^{x} = 199 : x = \frac{1}{2} ln (199)

e^{x} = 199

Wende Exponentenregel an

e^{x} = 199

Wende Exponentenregel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

199 = 19 9^{\frac{1}{2}}

e^{x} = 19 9^{\frac{1}{2}}

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (19 9^{\frac{1}{2}})

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (19 9^{\frac{1}{2}})

Wende die log Regel an:

ln (x^{a}) = a \cdot ln (x)

ln (19 9^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} ln (199)

x = \frac{1}{2} ln (199)

x = \frac{1}{2} ln (199)

Löse

e^{x} = - 199 :

Keine Lösung für

x \in R

e^{x} = - 199

a^{f (x)}

darf nicht null oder negativ sein

x \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

x = \frac{1}{2} ln (199)

Überprüfe die Lösungen:

x = \frac{1}{2} ln (199)

Wahr

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} = 0.99

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Setze ein

x = \frac{1}{2} ln (199) :

Wahr

\frac{e ^{\frac{1}{2} l n (199)} - e ^{- \frac{1}{2} l n (199)}}{e ^{\frac{1}{2} l n (199)} + e ^{- \frac{1}{2} l n (199)}} = 0.99

\frac{e ^{\frac{1}{2} l n (199)} - e ^{- \frac{1}{2} l n (199)}}{e ^{\frac{1}{2} l n (199)} + e ^{- \frac{1}{2} l n (199)}} = \frac{99}{100}

\frac{e ^{\frac{1}{2} l n (199)} - e ^{- \frac{1}{2} l n (199)}}{e ^{\frac{1}{2} l n (199)} + e ^{- \frac{1}{2} l n (199)}}

e^{\frac{1}{2} l n (199)} = 199

e^{\frac{1}{2} l n (199)}

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

= e^{l n (199)}

Wende die log Regel an:

a^{l o g_{a} (b)} = b

e^{l n (199)} = 199

= 199

e^{- \frac{1}{2} l n (199)} = 19 9^{- \frac{1}{2}}

e^{- \frac{1}{2} l n (199)}

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

= (e^{l n (199)})^{- \frac{1}{2}}

Wende die log Regel an:

a^{l o g_{a} (b)} = b

e^{l n (199)} = 199

= 19 9^{- \frac{1}{2}}

= \frac{e ^{\frac{1}{2} l n (199)} - e ^{- \frac{1}{2} l n (199)}}{199 + 19 9 ^{- \frac{1}{2}}}

e^{\frac{1}{2} l n (199)} = 199

e^{\frac{1}{2} l n (199)}

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

= e^{l n (199)}

Wende die log Regel an:

a^{l o g_{a} (b)} = b

e^{l n (199)} = 199

= 199

e^{- \frac{1}{2} l n (199)} = 19 9^{- \frac{1}{2}}

e^{- \frac{1}{2} l n (199)}

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

= (e^{l n (199)})^{- \frac{1}{2}}

Wende die log Regel an:

a^{l o g_{a} (b)} = b

e^{l n (199)} = 199

= 19 9^{- \frac{1}{2}}

= \frac{199 - 19 9 ^{- \frac{1}{2}}}{199 + 19 9 ^{- \frac{1}{2}}}

Vereinfache

\frac{199 - 19 9 ^{- \frac{1}{2}}}{199 + 19 9 ^{- \frac{1}{2}}}

Wende Exponentenregel an:

a^{- b} = \frac{1}{a ^{b}}

19 9^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{199}

= \frac{199 - 19 9 ^{- \frac{1}{2}}}{199 + \frac{1}{199}}

Wende Exponentenregel an:

a^{- b} = \frac{1}{a ^{b}}

19 9^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{199}

= \frac{199 - \frac{1}{199}}{199 + \frac{1}{199}}

Füge

199 + \frac{1}{199}

zusammen:

\frac{200}{199}

199 + \frac{1}{199}

Wandle das Element in einen Bruch um:

199 = \frac{199 199}{199}

= \frac{199 199}{199} + \frac{1}{199}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{199 199 + 1}{199}

199199 + 1 = 200

199199 + 1

Wende Radikal Regel an:

a a = a

199199 = 199

= 199 + 1

Addiere die Zahlen:

199 + 1 = 200

= 200

= \frac{200}{199}

= \frac{199 - \frac{1}{199}}{\frac{200}{199}}

Füge

199 - \frac{1}{199}

zusammen:

\frac{198}{199}

199 - \frac{1}{199}

Wandle das Element in einen Bruch um:

199 = \frac{199 199}{199}

= \frac{199 199}{199} - \frac{1}{199}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{199 199 - 1}{199}

199199 - 1 = 198

199199 - 1

Wende Radikal Regel an:

a a = a

199199 = 199

= 199 - 1

Subtrahiere die Zahlen:

199 - 1 = 198

= 198

= \frac{198}{199}

= \frac{\frac{198}{199}}{\frac{200}{199}}

Teile Brüche:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{198 199}{199 \cdot 200}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

199

= \frac{198}{200}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{99}{100}

= \frac{99}{100}

\frac{99}{100} = 0.99

Wahr

Deshalb ist die Lösung

x = \frac{1}{2} ln (199)

x = \frac{1}{2} ln (199)

Graph

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