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Beliebt Trigonometrie >

cos(x)=sqrt((1-cos(x))/2)

Lösung

cos (x) = \frac{1 - cos ( x )}{2}

Lösung

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Grad

x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos (x) = \frac{1 - cos ( x )}{2}

Löse mit Substitution

cos (x) = \frac{1 - cos ( x )}{2}

Angenommen:

cos (x) = u

u = \frac{1 - u}{2}

u = \frac{1 - u}{2} : u = \frac{1}{2}

u = \frac{1 - u}{2}

Quadriere beide Seiten:

u^{2} = \frac{1 - u}{2}

u = \frac{1 - u}{2}

u^{2} = (\frac{1 - u}{2})^{2}

Schreibe

(\frac{1 - u}{2})^{2}

um:

\frac{1 - u}{2}

(\frac{1 - u}{2})^{2}

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((\frac{1 - u}{2})^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (\frac{1 - u}{2})^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= \frac{1 - u}{2}

u^{2} = \frac{1 - u}{2}

u^{2} = \frac{1 - u}{2}

Löse

u^{2} = \frac{1 - u}{2} : u = \frac{1}{2}, u = - 1

u^{2} = \frac{1 - u}{2}

Multipliziere beide Seiten mit

2

u^{2} = \frac{1 - u}{2}

Multipliziere beide Seiten mit

2

u^{2} \cdot 2 = \frac{1 - u}{2} \cdot 2

Vereinfache

2 u^{2} = 1 - u

2 u^{2} = 1 - u

Verschiebe

u

auf die linke Seite

2 u^{2} = 1 - u

Füge

u

zu beiden Seiten hinzu

2 u^{2} + u = 1 - u + u

Vereinfache

2 u^{2} + u = 1

2 u^{2} + u = 1

Verschiebe

1

auf die linke Seite

2 u^{2} + u = 1

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

2 u^{2} + u - 1 = 1 - 1

Vereinfache

2 u^{2} + u - 1 = 0

2 u^{2} + u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} + u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = 1, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 1 )}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 1 )}{2 \cdot 2}

1^{2} - 4 \cdot 2 (- 1) = 3

1^{2} - 4 \cdot 2 (- 1)

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 \cdot 2 (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 1 + 8

Addiere die Zahlen:

1 + 8 = 9

= 9

Faktorisiere die Zahl:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 3}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 1 + 3}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- 1 - 3}{2 \cdot 2}

u = \frac{- 1 + 3}{2 \cdot 2} : \frac{1}{2}

\frac{- 1 + 3}{2 \cdot 2}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 1 + 3 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1}{2}

u = \frac{- 1 - 3}{2 \cdot 2} : - 1

\frac{- 1 - 3}{2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

- 1 - 3 = - 4

= \frac{- 4}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 4}{4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{4}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1}{2}, u = - 1

u = \frac{1}{2}, u = - 1

Überprüfe die Lösungen:

u = \frac{1}{2}

Wahr

, u = - 1

Falsch

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

u = \frac{1 - u}{2}

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Setze ein

u = \frac{1}{2} :

Wahr

\frac{1}{2} = \frac{1 - ( \frac{1}{2} )}{2}

\frac{1 - ( \frac{1}{2} )}{2} = \frac{1}{2}

\frac{1 - ( \frac{1}{2} )}{2}

Entferne die Klammern:

(a) = a

= \frac{1 - \frac{1}{2}}{2}

\frac{1 - \frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}

\frac{1 - \frac{1}{2}}{2}

Füge

1 - \frac{1}{2}

zusammen:

\frac{1}{2}

1 - \frac{1}{2}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 \cdot 2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 - 1}{2}

1 \cdot 2 - 1 = 1

1 \cdot 2 - 1

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 2 = 2

= 2 - 1

Subtrahiere die Zahlen:

2 - 1 = 1

= 1

= \frac{1}{2}

= \frac{\frac{1}{2}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{1}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{1}{4}

= \frac{1}{4}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

Wende Regel an

1 = 1

= \frac{1}{2}

\frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Wahr

Setze ein

u = - 1 :

Falsch

- 1 = \frac{1 - ( - 1 )}{2}

\frac{1 - ( - 1 )}{2} = 1

\frac{1 - ( - 1 )}{2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 + 1}{2}

\frac{1 + 1}{2} = 1

\frac{1 + 1}{2}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= \frac{2}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

= 1

Wende Regel an

1 = 1

= 1

- 1 = 1

Falsch

Deshalb ist die Lösung

u = \frac{1}{2}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

7cos(4x)=6

7 cos (4 x) = 6

-120=-90-arctan(0.1)+arctan(0.1x)

- 120 = - 90 - arctan (0.1) + arctan (0.1 x)

3tan(x)=0

3 tan (x) = 0

2sin^2(x)-15sin(x)+7=0

2 sin^{2} (x) - 15 sin (x) + 7 = 0

solvefor x,cos(x)=(-3)/5

so l v e f or x, cos (x) = \frac{- 3}{5}