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Popolare Trigonometria >

arctan(x)+arctan(1-x)=arctan(9/7)

Soluzione

arctan (x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{9}{7})

Soluzione

x = \frac{2}{3}, x = \frac{1}{3}

Fasi della soluzione

arctan (x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{9}{7})

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

arctan (x) + arctan (1 - x)

Usa la formula della somma al prodotto:

arctan (s) + arctan (t) = arctan (\frac{s + t}{1 - s t})

= arctan (\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )})

arctan (\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )}) = arctan (\frac{9}{7})

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

arctan (\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )}) = arctan (\frac{9}{7})

arctan (x) = a \Rightarrow x = tan (a)

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = tan (arctan (\frac{9}{7}))

tan (arctan (\frac{9}{7})) = \frac{9}{7}

tan (arctan (\frac{9}{7}))

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche:

tan (arctan (\frac{9}{7})) = \frac{9}{7}

Usare l'identità seguente:

tan (arctan (x)) = x

= \frac{9}{7}

= \frac{9}{7}

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{9}{7}

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{9}{7}

Risolvi

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{9}{7} : x = \frac{2}{3}, x = \frac{1}{3}

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{9}{7}

Moltiplicare entrambi i membri

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{9}{7}

Semplificare

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} : \frac{1}{1 - x ( 1 - x )}

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )}

x + 1 - x = 1

x + 1 - x

Raggruppa termini simili

= x - x + 1

Aggiungi elementi simili:

x - x = 0

= 1

= \frac{1}{1 - x ( - x + 1 )}

\frac{1}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{9}{7}

Applica la moltiplicazione incrociata: se

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

allora

a \cdot d = b \cdot c

1 \cdot 7 = (1 - x (1 - x)) \cdot 9

Semplificare

1 \cdot 7 : 7

1 \cdot 7

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 7 = 7

= 7

7 = (1 - x (1 - x)) \cdot 9

7 = (1 - x (1 - x)) \cdot 9

Risolvi

7 = (1 - x (1 - x)) \cdot 9 : x = \frac{2}{3}, x = \frac{1}{3}

7 = (1 - x (1 - x)) \cdot 9

Espandere

(1 - x (1 - x)) \cdot 9 : 9 - 9 x + 9 x^{2}

(1 - x (1 - x)) \cdot 9

Espandi

1 - x (1 - x) : 1 - x + x^{2}

1 - x (1 - x)

Espandi

- x (1 - x) : - x + x^{2}

- x (1 - x)

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = - x, b = 1, c = x

= - x \cdot 1 - (- x) x

Applicare le regole di sottrazione-addizione

- (- a) = a

= - 1 \cdot x + xx

Semplifica

- 1 \cdot x + xx : - x + x^{2}

- 1 \cdot x + xx

1 \cdot x = x

1 \cdot x

Moltiplicare:

1 \cdot x = x

= x

xx = x^{2}

xx

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

xx = x^{1 + 1}

= x^{1 + 1}

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= x^{2}

= - x + x^{2}

= - x + x^{2}

= 1 - x + x^{2}

= 9 (x^{2} - x + 1)

= 9 (1 - x + x^{2})

Distribuire le parentesi

= 9 \cdot 1 + 9 (- x) + 9 x^{2}

Applicare le regole di sottrazione-addizione

+ (- a) = - a

= 9 \cdot 1 - 9 x + 9 x^{2}

Moltiplica i numeri:

9 \cdot 1 = 9

= 9 - 9 x + 9 x^{2}

7 = 9 - 9 x + 9 x^{2}

Scambia i lati

9 - 9 x + 9 x^{2} = 7

Spostare

7

a sinistra dell'equazione

9 - 9 x + 9 x^{2} = 7

Sottrarre

7

da entrambi i lati

9 - 9 x + 9 x^{2} - 7 = 7 - 7

Semplificare

9 x^{2} - 9 x + 2 = 0

9 x^{2} - 9 x + 2 = 0

Risolvi con la formula quadratica

9 x^{2} - 9 x + 2 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = 9, b = - 9, c = 2

x_{1, 2} = \frac{- ( - 9 ) \pm ( - 9 ) ^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 2}{2 \cdot 9}

x_{1, 2} = \frac{- ( - 9 ) \pm ( - 9 ) ^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 2}{2 \cdot 9}

(- 9)^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 3

(- 9)^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 2

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 9)^{2} = 9^{2}

= 9^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 2

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 9 \cdot 2 = 72

= 9^{2} - 72

9^{2} = 81

= 81 - 72

Sottrai i numeri:

81 - 72 = 9

= 9

Fattorizzare il numero:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 3

x_{1, 2} = \frac{- ( - 9 ) \pm 3}{2 \cdot 9}

Separare le soluzioni

x_{1} = \frac{- ( - 9 ) + 3}{2 \cdot 9}, x_{2} = \frac{- ( - 9 ) - 3}{2 \cdot 9}

x = \frac{- ( - 9 ) + 3}{2 \cdot 9} : \frac{2}{3}

\frac{- ( - 9 ) + 3}{2 \cdot 9}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{9 + 3}{2 \cdot 9}

Aggiungi i numeri:

9 + 3 = 12

= \frac{12}{2 \cdot 9}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 9 = 18

= \frac{12}{18}

Cancella il fattore comune:

6

= \frac{2}{3}

x = \frac{- ( - 9 ) - 3}{2 \cdot 9} : \frac{1}{3}

\frac{- ( - 9 ) - 3}{2 \cdot 9}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{9 - 3}{2 \cdot 9}

Sottrai i numeri:

9 - 3 = 6

= \frac{6}{2 \cdot 9}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 9 = 18

= \frac{6}{18}

Cancella il fattore comune:

6

= \frac{1}{3}

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

x = \frac{2}{3}, x = \frac{1}{3}

x = \frac{2}{3}, x = \frac{1}{3}

x = \frac{2}{3}, x = \frac{1}{3}

Verifica le soluzioni inserendole nell' equazione originale

Verifica le soluzioni sostituendole in

arctan (x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{9}{7})

Rimuovi quelle che non si concordano con l'equazione.

Verificare la soluzione

\frac{2}{3} :

Vero

\frac{2}{3}

Inserire in

n = 1

\frac{2}{3}

Per

arctan (x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{9}{7})

inserisci la

x = \frac{2}{3}

arctan (\frac{2}{3}) + arctan (1 - \frac{2}{3}) = arctan (\frac{9}{7})

Affinare

0.90975 \dots = 0.90975 \dots

\Rightarrow Vero

Verificare la soluzione

\frac{1}{3} :

Vero

\frac{1}{3}

Inserire in

n = 1

\frac{1}{3}

Per

arctan (x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{9}{7})

inserisci la

x = \frac{1}{3}

arctan (\frac{1}{3}) + arctan (1 - \frac{1}{3}) = arctan (\frac{9}{7})

Affinare

0.90975 \dots = 0.90975 \dots

\Rightarrow Vero

x = \frac{2}{3}, x = \frac{1}{3}

Grafico

Esempi popolari

(2cos(x)+1)(sin(x)-1)=0

(2 cos (x) + 1) (sin (x) - 1) = 0

3cos^2(θ)-sin^2(θ)=0

3 cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ) = 0

sin(x)=((sqrt(6))/4)

sin (x) = (\frac{6}{4})

sqrt(3)*sin(x)+cos(x)=sqrt(3)

3 \cdot sin (x) + cos (x) = 3

sin(θ)=(sqrt(5))/5

sin (θ) = \frac{5}{5}