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Beliebt Trigonometrie >

-15sin(x)-8cos(x)=10

Lösung

- 15 sin (x) - 8 cos (x) = 10

Lösung

x = - 3.00267 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.11883 \dots + 2 πn

Grad

x = - 172.04060 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 295.89563 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

- 15 sin (x) - 8 cos (x) = 10

Füge

8 cos (x)

zu beiden Seiten hinzu

- 15 sin (x) = 10 + 8 cos (x)

Quadriere beide Seiten

(- 15 sin (x))^{2} = (10 + 8 cos (x))^{2}

Subtrahiere

(10 + 8 cos (x))^{2}

von beiden Seiten

225 sin^{2} (x) - 100 - 160 cos (x) - 64 cos^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 100 - 160 cos (x) + 225 sin^{2} (x) - 64 cos^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 100 - 160 cos (x) + 225 (1 - cos^{2} (x)) - 64 cos^{2} (x)

Vereinfache

- 100 - 160 cos (x) + 225 (1 - cos^{2} (x)) - 64 cos^{2} (x) : - 289 cos^{2} (x) - 160 cos (x) + 125

- 100 - 160 cos (x) + 225 (1 - cos^{2} (x)) - 64 cos^{2} (x)

Multipliziere aus

225 (1 - cos^{2} (x)) : 225 - 225 cos^{2} (x)

225 (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 225, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 225 \cdot 1 - 225 cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

225 \cdot 1 = 225

= 225 - 225 cos^{2} (x)

= - 100 - 160 cos (x) + 225 - 225 cos^{2} (x) - 64 cos^{2} (x)

Vereinfache

- 100 - 160 cos (x) + 225 - 225 cos^{2} (x) - 64 cos^{2} (x) : - 289 cos^{2} (x) - 160 cos (x) + 125

- 100 - 160 cos (x) + 225 - 225 cos^{2} (x) - 64 cos^{2} (x)

Addiere gleiche Elemente:

- 225 cos^{2} (x) - 64 cos^{2} (x) = - 289 cos^{2} (x)

= - 100 - 160 cos (x) + 225 - 289 cos^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 160 cos (x) - 289 cos^{2} (x) - 100 + 225

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 100 + 225 = 125

= - 289 cos^{2} (x) - 160 cos (x) + 125

= - 289 cos^{2} (x) - 160 cos (x) + 125

= - 289 cos^{2} (x) - 160 cos (x) + 125

125 - 160 cos (x) - 289 cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

125 - 160 cos (x) - 289 cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

125 - 160 u - 289 u^{2} = 0

125 - 160 u - 289 u^{2} = 0 : u = - \frac{5 ( 16 + 9 21 )}{289}, u = \frac{5 ( 9 21 - 16 )}{289}

125 - 160 u - 289 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 289 u^{2} - 160 u + 125 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 289 u^{2} - 160 u + 125 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 289, b = - 160, c = 125

u_{1, 2} = \frac{- ( - 160 ) \pm ( - 160 ) ^{2} - 4 ( - 289 ) \cdot 125}{2 ( - 289 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 160 ) \pm ( - 160 ) ^{2} - 4 ( - 289 ) \cdot 125}{2 ( - 289 )}

(- 160)^{2} - 4 (- 289) \cdot 125 = 9021

(- 160)^{2} - 4 (- 289) \cdot 125

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 160)^{2} + 4 \cdot 289 \cdot 125

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 160)^{2} = 16 0^{2}

= 16 0^{2} + 4 \cdot 289 \cdot 125

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 289 \cdot 125 = 144500

= 16 0^{2} + 144500

16 0^{2} = 25600

= 25600 + 144500

Addiere die Zahlen:

25600 + 144500 = 170100

= 170100

Primfaktorzerlegung von

170100 : 2^{2} \cdot 3^{5} \cdot 5^{2} \cdot 7

170100

= 3^{5} \cdot 2^{2} \cdot 5^{2} \cdot 7

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 3^{4} \cdot 2^{2} \cdot 5^{2} \cdot 3 \cdot 7

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2^{2} 3^{4} 5^{2} 3 \cdot 7

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 3^{4} 5^{2} 3 \cdot 7

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

3^{4} = 3^{\frac{4}{2}} = 3^{2}

= 3^{2} \cdot 2 5^{2} 3 \cdot 7

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

5^{2} = 5

= 3^{2} \cdot 2 \cdot 5 3 \cdot 7

Fasse zusammen

= 9021

u_{1, 2} = \frac{- ( - 160 ) \pm 90 21}{2 ( - 289 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 160 ) + 90 21}{2 ( - 289 )}, u_{2} = \frac{- ( - 160 ) - 90 21}{2 ( - 289 )}

u = \frac{- ( - 160 ) + 90 21}{2 ( - 289 )} : - \frac{5 ( 16 + 9 21 )}{289}

\frac{- ( - 160 ) + 90 21}{2 ( - 289 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{160 + 90 21}{- 2 \cdot 289}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 289 = 578

= \frac{160 + 90 21}{- 578}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{160 + 90 21}{578}

Streiche

\frac{160 + 90 21}{578} : \frac{5 ( 16 + 9 21 )}{289}

\frac{160 + 90 21}{578}

Faktorisiere

160 + 9021 : 10 (16 + 921)

160 + 9021

Schreibe um

= 10 \cdot 16 + 10 \cdot 921

Klammere gleiche Terme aus

10

= 10 (16 + 921)

= \frac{10 ( 16 + 9 21 )}{578}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{5 ( 16 + 9 21 )}{289}

= - \frac{5 ( 16 + 9 21 )}{289}

u = \frac{- ( - 160 ) - 90 21}{2 ( - 289 )} : \frac{5 ( 9 21 - 16 )}{289}

\frac{- ( - 160 ) - 90 21}{2 ( - 289 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{160 - 90 21}{- 2 \cdot 289}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 289 = 578

= \frac{160 - 90 21}{- 578}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

160 - 9021 = - (9021 - 160)

= \frac{90 21 - 160}{578}

Faktorisiere

9021 - 160 : 10 (921 - 16)

9021 - 160

Schreibe um

= 10 \cdot 921 - 10 \cdot 16

Klammere gleiche Terme aus

10

= 10 (921 - 16)

= \frac{10 ( 9 21 - 16 )}{578}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{5 ( 9 21 - 16 )}{289}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{5 ( 16 + 9 21 )}{289}, u = \frac{5 ( 9 21 - 16 )}{289}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - \frac{5 ( 16 + 9 21 )}{289}, cos (x) = \frac{5 ( 9 21 - 16 )}{289}

cos (x) = - \frac{5 ( 16 + 9 21 )}{289}, cos (x) = \frac{5 ( 9 21 - 16 )}{289}

cos (x) = - \frac{5 ( 16 + 9 21 )}{289} : x = arccos (- \frac{5 ( 16 + 9 21 )}{289}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{5 ( 16 + 9 21 )}{289}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{5 ( 16 + 9 21 )}{289}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{5 ( 16 + 9 21 )}{289}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{5 ( 16 + 9 21 )}{289}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{5 ( 16 + 9 21 )}{289}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{5 ( 16 + 9 21 )}{289}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{5 ( 16 + 9 21 )}{289}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{5 ( 16 + 9 21 )}{289}) + 2 πn

cos (x) = \frac{5 ( 9 21 - 16 )}{289} : x = arccos (\frac{5 ( 9 21 - 16 )}{289}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{5 ( 9 21 - 16 )}{289}) + 2 πn

cos (x) = \frac{5 ( 9 21 - 16 )}{289}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{5 ( 9 21 - 16 )}{289}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{5 ( 9 21 - 16 )}{289}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{5 ( 9 21 - 16 )}{289}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{5 ( 9 21 - 16 )}{289}) + 2 πn

x = arccos (\frac{5 ( 9 21 - 16 )}{289}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{5 ( 9 21 - 16 )}{289}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (- \frac{5 ( 16 + 9 21 )}{289}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{5 ( 16 + 9 21 )}{289}) + 2 πn, x = arccos (\frac{5 ( 9 21 - 16 )}{289}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{5 ( 9 21 - 16 )}{289}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

- 15 sin (x) - 8 cos (x) = 10

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arccos (- \frac{5 ( 16 + 9 21 )}{289}) + 2 πn :

Falsch

arccos (- \frac{5 ( 16 + 9 21 )}{289}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (- \frac{5 ( 16 + 9 21 )}{289}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (- \frac{5 ( 16 + 9 21 )}{289}) + 2 π 1

- 15 sin (x) - 8 cos (x) = 10

ein, um zu lösen

- 15 sin (arccos (- \frac{5 ( 16 + 9 21 )}{289}) + 2 π 1) - 8 cos (arccos (- \frac{5 ( 16 + 9 21 )}{289}) + 2 π 1) = 10

Fasse zusammen

5.84586 \dots = 10

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

- arccos (- \frac{5 ( 16 + 9 21 )}{289}) + 2 πn :

Wahr

- arccos (- \frac{5 ( 16 + 9 21 )}{289}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

- arccos (- \frac{5 ( 16 + 9 21 )}{289}) + 2 π 1

Setze

x = - arccos (- \frac{5 ( 16 + 9 21 )}{289}) + 2 π 1

- 15 sin (x) - 8 cos (x) = 10

ein, um zu lösen

- 15 sin (- arccos (- \frac{5 ( 16 + 9 21 )}{289}) + 2 π 1) - 8 cos (- arccos (- \frac{5 ( 16 + 9 21 )}{289}) + 2 π 1) = 10

Fasse zusammen

10 = 10

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{5 ( 9 21 - 16 )}{289}) + 2 πn :

Falsch

arccos (\frac{5 ( 9 21 - 16 )}{289}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{5 ( 9 21 - 16 )}{289}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (\frac{5 ( 9 21 - 16 )}{289}) + 2 π 1

- 15 sin (x) - 8 cos (x) = 10

ein, um zu lösen

- 15 sin (arccos (\frac{5 ( 9 21 - 16 )}{289}) + 2 π 1) - 8 cos (arccos (\frac{5 ( 9 21 - 16 )}{289}) + 2 π 1) = 10

Fasse zusammen

- 16.98773 \dots = 10

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

2 π - arccos (\frac{5 ( 9 21 - 16 )}{289}) + 2 πn :

Wahr

2 π - arccos (\frac{5 ( 9 21 - 16 )}{289}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

2 π - arccos (\frac{5 ( 9 21 - 16 )}{289}) + 2 π 1

Setze

x = 2 π - arccos (\frac{5 ( 9 21 - 16 )}{289}) + 2 π 1

- 15 sin (x) - 8 cos (x) = 10

ein, um zu lösen

- 15 sin (2 π - arccos (\frac{5 ( 9 21 - 16 )}{289}) + 2 π 1) - 8 cos (2 π - arccos (\frac{5 ( 9 21 - 16 )}{289}) + 2 π 1) = 10

Fasse zusammen

10 = 10

\Rightarrow Wahr

x = - arccos (- \frac{5 ( 16 + 9 21 )}{289}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{5 ( 9 21 - 16 )}{289}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = - 3.00267 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.11883 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

-5sec^2(x)+20=0

- 5 sec^{2} (x) + 20 = 0

1+cos(x)=sqrt(3)*sin(x)

1 + cos (x) = 3 \cdot sin (x)

cos(x)=(sqrt(6))/3

cos (x) = \frac{6}{3}

cos(3x)+cos(5x)=0

cos (3 x) + cos (5 x) = 0

cos(x)cot(x)=cos(x)cot(3x-50)

cos (x) cot (x) = cos (x) cot (3 x - 50)