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인기 있는 삼각법 >

sec^2(θ)+csc^2(θ)=4

해법

sec^{2} (θ) + csc^{2} (θ) = 4

해법

θ = \frac{3 π}{4} + πn, θ = \frac{π}{4} + πn

+1

도

θ = 13 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, θ = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n

솔루션 단계

sec^{2} (θ) + csc^{2} (θ) = 4

빼다

4

양쪽에서

sec^{2} (θ) + csc^{2} (θ) - 4 = 0

죄로 표현하라, 왜냐하면

- 4 + csc^{2} (θ) + sec^{2} (θ)

기본 삼각형 항등식 사용:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= - 4 + (\frac{1}{sin ( θ )})^{2} + sec^{2} (θ)

기본 삼각형 항등식 사용:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= - 4 + (\frac{1}{sin ( θ )})^{2} + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

- 4 + (\frac{1}{sin ( θ )})^{2} + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

단순화하세요:

\frac{- 4 sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

- 4 + (\frac{1}{sin ( θ )})^{2} + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2}

지수 규칙 적용:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( θ )}

규칙 적용

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

지수 규칙 적용:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( θ )}

규칙 적용

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= - 4 + \frac{1}{sin ^{2} ( θ )} + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

요소를 분수로 변환:

4 = \frac{4}{1}

= - \frac{4}{1} + \frac{1}{sin ^{2} ( θ )} + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

1, sin^{2} (θ), cos^{2} (θ)

의 최소 공배수:

sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

1, sin^{2} (θ), cos^{2} (θ)

최저공통승수 (LCM)

인수식 중 하나 이상에 나타나는 요인으로 구성된 식을 계산합니다

= sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

LCM을 기준으로 분수 조정

각 분자를 곱하는 데 필요한 동일한 양으로 곱하시오

해당 분모를 LCM으로 변환합니다

sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

위해서

\frac{4}{1} :

분모와 분자를 곱하다

sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

\frac{4}{1} = \frac{4 sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}{1 \cdot sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )} = \frac{4 sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

위해서

\frac{1}{sin ^{2} ( θ )} :

분모와 분자를 곱하다

cos^{2} (θ)

\frac{1}{sin ^{2} ( θ )} = \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )} = \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

위해서

\frac{1}{cos ^{2} ( θ )} :

분모와 분자를 곱하다

sin^{2} (θ)

\frac{1}{cos ^{2} ( θ )} = \frac{1 \cdot sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )} = \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

= - \frac{4 sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )} + \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )} + \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

분모가 같기 때문에, 분수를 합친다:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 4 sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

= \frac{- 4 sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

\frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ ) - 4 cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ) - 4 cos^{2} (θ) sin^{2} (θ) = 0

삼각성을 사용하여 다시 쓰기

cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ) - 4 cos^{2} (θ) sin^{2} (θ)

피타고라스 정체성 사용:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= - 4 cos^{2} (θ) sin^{2} (θ) + 1

1 - 4 cos^{2} (θ) sin^{2} (θ) = 0

1 - 4 cos^{2} (θ) sin^{2} (θ)

요인:

(1 + 2 sin (θ) cos (θ)) (1 - 2 sin (θ) cos (θ))

1 - 4 cos^{2} (θ) sin^{2} (θ)

1 - 4 sin^{2} (θ) cos^{2} (θ) 1 - (2 sin (θ) cos (θ))^{2}

로 다시 씁니다

1 - 4 sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

4 2^{2}

로 다시 씁니다

= 1 - 2^{2} sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

지수 규칙 적용:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

2^{2} sin^{2} (θ) cos^{2} (θ) = (2 sin (θ) cos (θ))^{2}

= 1 - (2 sin (θ) cos (θ))^{2}

= 1 - (2 sin (θ) cos (θ))^{2}

두 제곱 공식의 차이 적용:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

1 - (2 sin (θ) cos (θ))^{2} = (2 sin (θ) cos (θ) + 1) (- 2 sin (θ) cos (θ) + 1)

= (2 sin (θ) cos (θ) + 1) (- 2 sin (θ) cos (θ) + 1)

(1 + 2 sin (θ) cos (θ)) (1 - 2 sin (θ) cos (θ)) = 0

각 부분을 개별적으로 해결

1 + 2 sin (θ) cos (θ) = 0 or 1 - 2 sin (θ) cos (θ) = 0

1 + 2 sin (θ) cos (θ) = 0 : θ = \frac{3 π}{4} + πn

1 + 2 sin (θ) cos (θ) = 0

삼각성을 사용하여 다시 쓰기

1 + 2 sin (θ) cos (θ)

더블 앵글 아이덴티티 사용:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

= 1 + sin (2 θ)

1 + sin (2 θ) = 0

1

를 오른쪽으로 이동

1 + sin (2 θ) = 0

빼다

1

양쪽에서

1 + sin (2 θ) - 1 = 0 - 1

단순화

sin (2 θ) = - 1

sin (2 θ) = - 1

일반 솔루션

sin (2 θ) = - 1

sin (x)

주기율표

2 πn

주기:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

2 θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

2 θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

2 θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

해결 :

θ = \frac{3 π}{4} + πn

2 θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

양쪽을 다음으로 나눕니다

2

2 θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

양쪽을 다음으로 나눕니다

2

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

단순화

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{2 θ}{2}

간소화하다 :

θ

\frac{2 θ}{2}

숫자를 나눕니다:

\frac{2}{2} = 1

= θ

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

간소화하다 :

\frac{3 π}{4} + πn

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} = \frac{3 π}{4}

\frac{\frac{3 π}{2}}{2}

분수 규칙 적용:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3 π}{2 \cdot 2}

숫자를 곱하시오:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3 π}{4}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

숫자를 나눕니다:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{3 π}{4} + πn

θ = \frac{3 π}{4} + πn

θ = \frac{3 π}{4} + πn

θ = \frac{3 π}{4} + πn

θ = \frac{3 π}{4} + πn

1 - 2 sin (θ) cos (θ) = 0 : θ = \frac{π}{4} + πn

1 - 2 sin (θ) cos (θ) = 0

삼각성을 사용하여 다시 쓰기

1 - 2 sin (θ) cos (θ)

더블 앵글 아이덴티티 사용:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

= 1 - sin (2 θ)

1 - sin (2 θ) = 0

1

를 오른쪽으로 이동

1 - sin (2 θ) = 0

빼다

1

양쪽에서

1 - sin (2 θ) - 1 = 0 - 1

단순화

- sin (2 θ) = - 1

- sin (2 θ) = - 1

양쪽을 다음으로 나눕니다

- 1

- sin (2 θ) = - 1

양쪽을 다음으로 나눕니다

- 1

\frac{- sin ( 2 θ )}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

단순화

sin (2 θ) = 1

sin (2 θ) = 1

일반 솔루션

sin (2 θ) = 1

sin (x)

주기율표

2 πn

주기:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

2 θ = \frac{π}{2} + 2 πn

2 θ = \frac{π}{2} + 2 πn

2 θ = \frac{π}{2} + 2 πn

해결 :

θ = \frac{π}{4} + πn

2 θ = \frac{π}{2} + 2 πn

양쪽을 다음으로 나눕니다

2

2 θ = \frac{π}{2} + 2 πn

양쪽을 다음으로 나눕니다

2

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

단순화

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{2 θ}{2}

간소화하다 :

θ

\frac{2 θ}{2}

숫자를 나눕니다:

\frac{2}{2} = 1

= θ

\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

간소화하다 :

\frac{π}{4} + πn

\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{2}}{2} = \frac{π}{4}

\frac{\frac{π}{2}}{2}

분수 규칙 적용:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{2 \cdot 2}

숫자를 곱하시오:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{π}{4}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

숫자를 나눕니다:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{π}{4} + πn

θ = \frac{π}{4} + πn

θ = \frac{π}{4} + πn

θ = \frac{π}{4} + πn

θ = \frac{π}{4} + πn

모든 솔루션 결합

θ = \frac{3 π}{4} + πn, θ = \frac{π}{4} + πn

그래프

인기 있는 예

sin(x)-cos(x)= 1/5

sin (x) - cos (x) = \frac{1}{5}

cos (θ) = 0.56

cos (θ) = 0.17

5 cos (x) + 1 = 1

cosh (z) = 1