English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Популярное Тригонометрия >

sec^2(θ)+csc^2(θ)=4

Решение

sec^{2} (θ) + csc^{2} (θ) = 4

Решение

θ = \frac{3 π}{4} + πn, θ = \frac{π}{4} + πn

Градусы

θ = 13 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, θ = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Шаги решения

sec^{2} (θ) + csc^{2} (θ) = 4

Вычтите

4

с обеих сторон

sec^{2} (θ) + csc^{2} (θ) - 4 = 0

Выразите с помощью синуса (sin), косинуса (cos)

- 4 + csc^{2} (θ) + sec^{2} (θ)

Испльзуйте основное тригонометрическое тождество:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= - 4 + (\frac{1}{sin ( θ )})^{2} + sec^{2} (θ)

Испльзуйте основное тригонометрическое тождество:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= - 4 + (\frac{1}{sin ( θ )})^{2} + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

Упростить

- 4 + (\frac{1}{sin ( θ )})^{2} + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2} : \frac{- 4 sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

- 4 + (\frac{1}{sin ( θ )})^{2} + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2}

Примените правило возведения в степень:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( θ )}

Примените правило

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

Примените правило возведения в степень:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( θ )}

Примените правило

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= - 4 + \frac{1}{sin ^{2} ( θ )} + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

Преобразуйте элемент в дробь:

4 = \frac{4}{1}

= - \frac{4}{1} + \frac{1}{sin ^{2} ( θ )} + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

Наименьший Общий Множитель

1, sin^{2} (θ), cos^{2} (θ) : sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

1, sin^{2} (θ), cos^{2} (θ)

Наименьший Общий Кратный (НОК)

Вычислите выражение, состоящее из множителей, которые появляются хотя бы в одном из факторизованных выражений

= sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

Отрегулируйте дроби на основе Наименьшего Общего Кратного (НОК)

Умножьте каждый числитель на такое же число, необходимое для умножения его

соответствующего знаменателя, чтобы превратить его в НОК

sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

Для

\frac{4}{1} :

умножить знаменатель и числитель на

sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

\frac{4}{1} = \frac{4 sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}{1 \cdot sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )} = \frac{4 sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

Для

\frac{1}{sin ^{2} ( θ )} :

умножить знаменатель и числитель на

cos^{2} (θ)

\frac{1}{sin ^{2} ( θ )} = \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )} = \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

Для

\frac{1}{cos ^{2} ( θ )} :

умножить знаменатель и числитель на

sin^{2} (θ)

\frac{1}{cos ^{2} ( θ )} = \frac{1 \cdot sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )} = \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

= - \frac{4 sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )} + \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )} + \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

Так как знаменатели равны, сложите дроби:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 4 sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

= \frac{- 4 sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

\frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ ) - 4 cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ) - 4 cos^{2} (θ) sin^{2} (θ) = 0

Перепишите используя тригонометрические тождества

cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ) - 4 cos^{2} (θ) sin^{2} (θ)

Используйте основное тригонометрическое тождество (тождество Пифагора):

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= - 4 cos^{2} (θ) sin^{2} (θ) + 1

1 - 4 cos^{2} (θ) sin^{2} (θ) = 0

коэффициент

1 - 4 cos^{2} (θ) sin^{2} (θ) : (1 + 2 sin (θ) cos (θ)) (1 - 2 sin (θ) cos (θ))

1 - 4 cos^{2} (θ) sin^{2} (θ)

Перепишите

1 - 4 sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

как

1 - (2 sin (θ) cos (θ))^{2}

1 - 4 sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

Перепишите

4

как

2^{2}

= 1 - 2^{2} sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

Примените правило возведения в степень:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

2^{2} sin^{2} (θ) cos^{2} (θ) = (2 sin (θ) cos (θ))^{2}

= 1 - (2 sin (θ) cos (θ))^{2}

= 1 - (2 sin (θ) cos (θ))^{2}

Примените формулу разности двух квадратов:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

1 - (2 sin (θ) cos (θ))^{2} = (2 sin (θ) cos (θ) + 1) (- 2 sin (θ) cos (θ) + 1)

= (2 sin (θ) cos (θ) + 1) (- 2 sin (θ) cos (θ) + 1)

(1 + 2 sin (θ) cos (θ)) (1 - 2 sin (θ) cos (θ)) = 0

Произведите отдельное решение для каждой части

1 + 2 sin (θ) cos (θ) = 0 or 1 - 2 sin (θ) cos (θ) = 0

1 + 2 sin (θ) cos (θ) = 0 : θ = \frac{3 π}{4} + πn

1 + 2 sin (θ) cos (θ) = 0

Перепишите используя тригонометрические тождества

1 + 2 sin (θ) cos (θ)

Используйте тождество двойного угла:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

= 1 + sin (2 θ)

1 + sin (2 θ) = 0

Переместите

1

вправо

1 + sin (2 θ) = 0

Вычтите

1

с обеих сторон

1 + sin (2 θ) - 1 = 0 - 1

После упрощения получаем

sin (2 θ) = - 1

sin (2 θ) = - 1

Общие решения для

sin (2 θ) = - 1

sin (x)

таблица периодичности с циклом

2 πn

2 θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

2 θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Решить

2 θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn : θ = \frac{3 π}{4} + πn

2 θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Разделите обе стороны на

2

2 θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

После упрощения получаем

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Упростите

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Разделите числа:

\frac{2}{2} = 1

= θ

Упростите

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{3 π}{4} + πn

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} = \frac{3 π}{4}

\frac{\frac{3 π}{2}}{2}

Примените правило дробей:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3 π}{2 \cdot 2}

Перемножьте числа:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3 π}{4}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Разделите числа:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{3 π}{4} + πn

θ = \frac{3 π}{4} + πn

θ = \frac{3 π}{4} + πn

θ = \frac{3 π}{4} + πn

θ = \frac{3 π}{4} + πn

1 - 2 sin (θ) cos (θ) = 0 : θ = \frac{π}{4} + πn

1 - 2 sin (θ) cos (θ) = 0

Перепишите используя тригонометрические тождества

1 - 2 sin (θ) cos (θ)

Используйте тождество двойного угла:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

= 1 - sin (2 θ)

1 - sin (2 θ) = 0

Переместите

1

вправо

1 - sin (2 θ) = 0

Вычтите

1

с обеих сторон

1 - sin (2 θ) - 1 = 0 - 1

После упрощения получаем

- sin (2 θ) = - 1

- sin (2 θ) = - 1

Разделите обе стороны на

- 1

- sin (2 θ) = - 1

Разделите обе стороны на

- 1

\frac{- sin ( 2 θ )}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

После упрощения получаем

sin (2 θ) = 1

sin (2 θ) = 1

Общие решения для

sin (2 θ) = 1

sin (x)

таблица периодичности с циклом

2 πn

2 θ = \frac{π}{2} + 2 πn

2 θ = \frac{π}{2} + 2 πn

Решить

2 θ = \frac{π}{2} + 2 πn : θ = \frac{π}{4} + πn

2 θ = \frac{π}{2} + 2 πn

Разделите обе стороны на

2

2 θ = \frac{π}{2} + 2 πn

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

После упрощения получаем

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Упростите

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Разделите числа:

\frac{2}{2} = 1

= θ

Упростите

\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{π}{4} + πn

\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{2}}{2} = \frac{π}{4}

\frac{\frac{π}{2}}{2}

Примените правило дробей:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{2 \cdot 2}

Перемножьте числа:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{π}{4}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Разделите числа:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{π}{4} + πn

θ = \frac{π}{4} + πn

θ = \frac{π}{4} + πn

θ = \frac{π}{4} + πn

θ = \frac{π}{4} + πn

Объедините все решения

θ = \frac{3 π}{4} + πn, θ = \frac{π}{4} + πn

Решение

Решение

График

Популярные примеры